Упр.6.46 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_x cos(2пx)=0; 2) log_(v2sin(x)) (1+cos(x))=2.

1. $$\log_x \cos(2\pi x)=0$$

   По свойству логарифма получаем:

   $$\cos(2\pi x)=1.$$

   Тогда

   $$2\pi x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$
   $$x=n.$$

   Проверим область определения логарифма:

   $$x>0,\quad x\ne 1.$$

   Значит,

   $$x=n,\quad n\in \mathbb N,\ n\ne 1.$$

2. $$\log_{\sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2$$

   По определению логарифма:

   $$1+\cos x=(\sqrt{2}\sin x)^2=2\sin^2 x.$$

   Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$1+\cos x=2-2\cos^2 x,$$
   $$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=1+8=9,$$
   $$\cos x=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

   Отсюда

   $$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$

   Значение $$\cos x=-1$$ не подходит, так как тогда $$1+\cos x=0$$, а аргумент логарифма должен быть положительным. Поэтому

   $$\cos x=\frac12.$$

   С учётом области определения основания логарифма:

   $$\sqrt{2}\sin x>0,\quad \sqrt{2}\sin x\ne 1,$$
   $$\sin x>0,\quad \sin x\ne \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   При $$\cos x=\frac12$$ и $$\sin x>0$$ получаем

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=n,\ n\in \mathbb N,\ n\ne 1.$$

2) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$