Упр.6.45 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.45. При каких значениях параметра а уравнение (x+a)log_3 (2x-5)=0 имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$ (x+a)\log_3(2x-5)=0. $$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ x+a=0 \quad \text{или} \quad \log_3(2x-5)=0. $$

1) Из первого уравнения получаем

$$ x=-a. $$

2) Из второго уравнения:

$$ \log_3(2x-5)=0 \Rightarrow 2x-5=1 \Rightarrow x=3. $$

Но логарифм определён только при

$$ 2x-5>0 \Rightarrow x>\frac52. $$

Значит, корень $$x=3$$ всегда подходит.

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы корень $$x=-a$$ либо не существовал как дополнительный, либо совпадал с $$x=3$$.

Если $$-a=3$$, то

$$ a=-3, $$

и оба множителя обращаются в нуль при одном и том же значении $$x=3$$.

Если же $$-a\neq 3$$, то второй корень должен не принадлежать области определения, то есть

$$ -a\le \frac52. $$

Отсюда

$$ a\ge -\frac52. $$

При таких значениях параметра корень $$x=-a$$ не даёт второго допустимого решения, и остаётся только $$x=3$$.

Ответ

$$ a=-3 \quad \text{или} \quad a\ge -\frac52. $$