Упр.6.43 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.43. Сколько решений имеет уравнение (log_3 (x-2)-2)v(x-a)=0 в зависимости от значения параметра а?

Рассмотрим уравнение

$$\bigl(\log_3(x-2)-2\bigr)\sqrt{x-a}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\log_3(x-2)-2=0$$

$$\log_3(x-2)=2$$

$$x-2=9$$

$$x=11.$$

2) $$\sqrt{x-a}=0$$

$$x-a=0$$

$$x=a.$$

Теперь учтём область определения:

$$x-2>0,\quad x-a\ge 0.$$

Значит, для решений должно выполняться

$$x>2,\quad x\ge a.$$

Проверим найденные корни.

Корень $$x=11$$ подходит тогда и только тогда, когда

$$11\ge a,$$

то есть $$a\le 11.$$

Корень $$x=a$$ подходит, если он удовлетворяет условию $$x>2$$, то есть

$$a>2.$$

Если $$a=11,$$ то оба множителя обращаются в нуль при одном и том же значении $$x=11,$$ поэтому решение одно.

Если $$a\le 2,$$ то корень $$x=a$$ не подходит, а остаётся только $$x=11$$ — одно решение.

Если $$2<a<11,$$ то подходят оба значения $$x=a$$ и $$x=11,$$ причём они различны, значит решений два.

Ответ

Если $$a\le 2$$ или $$a\ge 11,$$ то уравнение имеет одно решение; если $$2<a<11,$$ то два решения.