Упр.6.42 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.42. Сколько решений имеет уравнение (log_2 (x+1)-3)v(x-a)=0 в зависимости от значения параметра а?

Рассмотрим уравнение

$$\bigl(\log_2(x+1)-3\bigr)\sqrt{x-a}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\log_2(x+1)-3=0$$

$$\log_2(x+1)=3$$

$$x+1=8$$

$$x=7.$$

2) $$\sqrt{x-a}=0$$

$$x-a=0$$

$$x=a.$$

Теперь учтём область определения:

$$x+1>0,\quad x-a\ge 0.$$

Для корня из логарифма нужно также, чтобы найденные значения удовлетворяли ОДЗ.

Проверим корни:

• $$x=7$$ подходит, если $$7-a\ge 0,$$ то есть $$a\le 7.$$
• $$x=a$$ подходит, если $$a+1>0,$$ то есть $$a>-1.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$a<-1,$$ то корень $$x=a$$ не подходит, а $$x=7$$ подходит только при $$a\le 7$$; значит, при $$a<-1$$ есть одно решение;
• если $$-1\le a<7,$$ то оба корня подходят и они различны, значит, решений два;
• если $$a=7,$$ оба корня совпадают: $$x=7,$$ значит, одно решение;
• если $$a>7,$$ корень $$x=7$$ не подходит, а $$x=a$$ тоже не подходит, так как $$a+1>0$$, но $$7-a<0$$; решений нет.

Итак, число решений зависит от параметра так:

• при $$a<-1$$ — одно решение;
• при $$-1\le a<7$$ — два решения;
• при $$a=7$$ — одно решение;
• при $$a>7$$ — решений нет.

Ответ

$$1$$ решение при $$a<-1$$ и при $$a=7$$; $$2$$ решения при $$-1\le a<7$$; решений нет при $$a>7.$$