Упр.6.41 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.41. Решите уравнение v(tg x+1)·log_(1/2) (3-x)=0.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{\tg x+1}\cdot \log_{\frac12}(3-x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом оба множителя должны быть определены.

1) $$\sqrt{\tg x+1}=0.$$ Тогда

$$\tg x+1=0,$$

$$\tg x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Проверим область определения: при этих значениях $$\tg x+1=0,$$ значит корень определён.

2) $$\log_{\frac12}(3-x)=0.$$ Тогда

$$3-x=1,$$

$$x=2.$$

Проверим ОДЗ:

$$\tg x+1\ge 0,\qquad 3-x>0.$$

Для $$x=2$$ имеем $$3-2>0,$$ а также $$\tg 2+1>0,$$ значит значение подходит.

Итак, решения уравнения:

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

и $$x=2.$$

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=2.$$