Упр.6.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x·log_(x+1) 5·log_(1/5)^(1/3) (x+1)=(x-4)/x;
2) log_(1+x+sin(x)) (x^2+x-1)=log_(1+x+sin(x)) (3x+2).

1. Преобразуем уравнение:

   $$x\log_{x+1}5\cdot \log_{\sqrt[3]{\frac15}}(x+1)=\frac{x-4}{x}.$$

   Используем формулу перехода к новому основанию:

   $$\log_{x+1}5=\frac{\log_5 5}{\log_5(x+1)}=\frac{1}{\log_5(x+1)},$$

   $$\log_{\sqrt[3]{\frac15}}(x+1)=\frac{\log_5(x+1)}{\log_5\sqrt[3]{\frac15}}.$$

   Тогда

   $$x\cdot \frac{1}{\log_5(x+1)}\cdot \frac{\log_5(x+1)}{\log_5\sqrt[3]{\frac15}}=\frac{x-4}{x}.$$

   Так как

   $$\log_5\sqrt[3]{\frac15}=\log_5 5^{-1/3}=-\frac13,$$

   получаем

   $$x\cdot \frac{1}{-\frac13}=\frac{x-4}{x},$$

   $$-3x=\frac{x-4}{x}.$$

   Умножим на $$x$$:

   $$-3x^2=x-4,$$

   $$3x^2+x-4=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=1+48=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6}.$$

   Отсюда

   $$x_1=-\frac43,\qquad x_2=1.$$

   Проверим область определения:

   $$x+1>0,\quad x+1\ne 1,\quad x\ne 0.$$

   Значение $$x=-\frac43$$ не подходит, а $$x=1$$ подходит.

2. Рассмотрим уравнение

   $$\log_{1+x+\sin x}(x^2+x-1)=\log_{1+x+\sin x}(3x+2).$$

   При одинаковых основаниях, если основание допустимо, получаем:

   $$x^2+x-1=3x+2.$$

   Тогда

   $$x^2-2x-3=0,$$

   $$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0.$$

   Следовательно,

   $$x=3 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

   Проверим область определения:

   $$x^2+x-1>0,\quad 3x+2>0,\quad 1+x+\sin x>0,\quad 1+x+\sin x\ne 1.$$

   При $$x=-1$$ имеем $$3x+2=-1<0$$, значит это значение не подходит.

   При $$x=3$$ все условия выполняются.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=3$$.