Упр.6.39 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^2·log_x 27·log_9 x=x+4;
2) lg v(1+x)+3lg v(1-x)-2=lg v(1-x^2).

1. $$x^2\log_x 27\cdot \log_9 x=x+4$$

   Используем формулу перехода к новому основанию:

   $$\log_x 27=\frac{\log_3 27}{\log_3 x}, \qquad \log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}.$$

   Тогда

   $$x^2\cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x}\cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 9}=x+4.$$

   Так как $$\log_3 27=3,$$ а $$\log_3 9=2,$$ получаем

   $$x^2\cdot \frac{3}{2}=x+4.$$

   Умножим на 2:

   $$3x^2=2x+8,$$

   $$3x^2-2x-8=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-8)=4+96=100,$$

   $$x=\frac{2\pm 10}{6}.$$

   Отсюда

   $$x_1=-\frac{4}{3}, \qquad x_2=2.$$

   Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$

   Подходит только $$x=2.$$

2. $$\lg\sqrt{1+x}+3\lg\sqrt{1-x}-2=\lg\sqrt{1-x^2}$$

   Перенесём число $$2$$ в логарифм:

   $$2=\lg 10^2,$$

   тогда

   $$\lg\sqrt{1+x}+3\lg\sqrt{1-x}-\lg 10^2=\lg\sqrt{1-x^2}.$$

   Используем свойства логарифмов:

   $$\lg\frac{\sqrt{1+x}\cdot \sqrt{(1-x)^3}}{\sqrt{1-x^2}}=\lg 10^2.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\sqrt{1+x}\cdot \sqrt{(1-x)^3}}{\sqrt{1-x^2}}=100.$$

   Так как $$1-x^2=(1-x)(1+x),$$ то

   $$\frac{\sqrt{1+x}\cdot \sqrt{(1-x)^3}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}=100,$$

   $$1-x=100,$$

   $$x=-99.$$

   Проверим область определения:

   $$1+x>0,\qquad 1-x>0,$$

   то есть

   $$x>-1,\qquad x<1.$$

   Число $$x=-99$$ не подходит, значит корней нет.

Ответ

1) $$2$$; 2) корней нет.