Упр.6.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.38. Решите уравнение 2lg^2 (2x-1)=lg^2 (2x+1)-lg (2x-1)·lg (2x+1).
Обозначим
$$a=\lg(2x-1), \qquad b=\lg(2x+1).$$
Тогда уравнение принимает вид
$$2a^2=b^2-ab.$$
Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:
$$b^2-ab-2a^2=0$$
$$b^2-ab-2a^2=(b-2a)(b+a)=0.$$
Значит, возможны два случая:
$$b-2a=0,$$
$$\lg(2x+1)=2\lg(2x-1)=\lg(2x-1)^2,$$
$$2x+1=(2x-1)^2,$$
$$2x+1=4x^2-4x+1,$$
$$4x^2-6x=0,$$
$$2x(2x-3)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac{3}{2}.$$
$$b+a=0,$$
$$\lg(2x+1)+\lg(2x-1)=0,$$
$$\lg\bigl((2x+1)(2x-1)\bigr)=0,$$
$$4x^2-1=1,$$
$$4x^2=2,$$
$$x^2=\frac12,$$
$$x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$
Теперь учтём область определения:
$$2x-1>0,\qquad 2x+1>0,$$
откуда
$$x>\frac12.$$
Из найденных корней этому условию удовлетворяют только
$$x=\frac{3}{2}, \qquad x=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Ответ
$$\frac{\sqrt2}{2};\ \frac{3}{2}.$$
