Упр.6.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.37. Решите уравнение lg^2 (x+1)=lg (x+1)·lg (x-1)+2lg^2 (x-1).

Пусть $$t=\log_{x-1}(x+1).$$ Тогда

$$\log_{x+1}(x-1)=\frac{1}{\log_{x-1}(x+1)}=\frac{1}{t}.$$

Исходное уравнение запишем так:

$$\log^2(x+1)=\log(x+1)\cdot \log(x-1)+2\log^2(x-1).$$

Делим обе части на $$\log^2(x-1)$$ и получаем

$$\left(\frac{\log(x+1)}{\log(x-1)}\right)^2-\frac{\log(x+1)}{\log(x-1)}-2=0,$$

то есть

$$t^2-t-2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t^2-t-2=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0,$$

откуда

$$t=2 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

1) Если $$\log_{x-1}(x+1)=2,$$ то

$$x+1=(x-1)^2,$$

$$x+1=x^2-2x+1,$$

$$x^2-3x=0,$$

$$x(x-3)=0.$$

С учётом области определения $$x>1$$ подходит только $$x=3.$$

2) Если $$\log_{x-1}(x+1)=-1,$$ то

$$x+1=(x-1)^{-1},$$

$$\left(x+1\right)\left(x-1\right)=1,$$

$$x^2-1=1,$$

$$x^2=2,$$

$$x=\pm \sqrt{2}.$$

С учётом области определения $$x>1$$ подходит только $$x=\sqrt{2}.$$

Проверка области определения:

$$x+1>0,\quad x-1>0 \;\Rightarrow\; x>1.$$

Оба найденных значения удовлетворяют условию.

Ответ

$$\sqrt{2},\ 3$$