Упр.6.36 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_(1/3) (x-5)=x-9; 2) (log_3 x)^2+(x-1)log_3 x=12-3x.

1) Рассмотрим уравнение $$\log_{\frac13}(x-5)=x-9.$$

Область определения: $$x-5>0,$$ то есть $$x>5.$$

Функция $$y=\log_{\frac13}(x-5)$$ убывает, а функция $$g=x-9$$ возрастает. Значит, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим число $$x=8$$:

$$\log_{\frac13}(8-5)=\log_{\frac13}3=-1,$$

$$8-9=-1.$$

Следовательно, $$x=8$$ — решение.

2) Решим уравнение $$\left(\log_3 x\right)^2+(x-1)\log_3 x=12-3x.$$

Положим $$t=\log_3 x,$$ тогда $$x=3^t,$$ и уравнение примет вид

$$t^2+(3^t-1)t=12-3\cdot 3^t.$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$t^2+t\cdot 3^t-t-12+3^{t+1}=0.$$

Удобнее заметить, что исходное уравнение можно преобразовать к виду

$$\left(\log_3 x-3\right)\left(\log_3 x+x-4\right)=0.$$

Тогда получаем два случая:

$$\log_3 x-3=0 \quad \text{или} \quad \log_3 x+x-4=0.$$

1) $$\log_3 x=3,$$ откуда $$x=27.$$

2) $$\log_3 x=4-x.$$

Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает, а функция $$g=4-x$$ убывает, значит, решение здесь единственное. Проверим $$x=3$$:

$$\log_3 3=1,$$

$$4-3=1.$$

Значит, $$x=3$$ — решение.

Ответ

1) $$8$$; 2) $$27,\ 3$$.