Упр.6.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_7 (x+8)=-x; 2) (log_2 x)^2+(x-1)log_2 x=6-2x.

1) Рассмотрим уравнение $$\log_7(x+8)=-x.$$

Переходим к показательной форме:

$$x+8=7^{-x}.$$

Рассмотрим функции $$y=x+8$$ и $$g=7^{-x}.$$ Первая функция возрастает, вторая убывает, значит, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим $$x=-1$$:

$$-1+8=7,$$

$$7^{-(-1)}=7.$$

Значит, $$x=-1$$ — решение.

2) Решим уравнение

$$\left(\log_2 x\right)^2+(x-1)\log_2 x=6-2x.$$

Обозначим $$t=\log_2 x$$. Тогда $$x=2^t$$, и уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $$t$$:

$$t^2+(x-1)t-(6-2x)=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(x-1)^2+4(6-2x)=x^2-2x+1+24-8x=x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-(x-1)\pm(x-5)}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=3-x,\qquad t_2=-2.$$

То есть

$$\log_2 x=3-x \quad \text{или} \quad \log_2 x=-2.$$

Проверим решения.

Если $$\log_2 x=3-x,$$ то функция $$y=\log_2 x$$ возрастает, а $$g=3-x$$ убывает, значит, пересечение может быть только одно. Проверим $$x=2$$:

$$\log_2 2=1,\qquad 3-2=1.$$

Следовательно, $$x=2$$ — решение.

Если $$\log_2 x=-2,$$ то

$$x=2^{-2}=\frac14.$$

Проверка подходит.

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$\frac14,\ 2$$.