Упр.6.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) {(4^x+2^y=12, lg (3x-2y)=lg (5+x-3y));
2) {(x^log_2 y+y^log_2 x=16, log_2 x-log_2 y=2);
3) {(log_x (3x+2y)=2, log_y (2x+3y)=2);
4) {(2-log_2 y=2log_2 (x+y), log_2 (x+y)+log_2 (x^2-xy+y^2)=1);
5) {((x+y)3^(y-x)=5/27, 3log_5 (x+y)=x-y).
- $$\begin{cases}
4^x+2^y=12,\\
\lg(3x-2y)=\lg(5+x-3y)
\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$3x-2y=5+x-3y,$$
$$y=5-2x.$$
Подставим в первое:
$$4^x+2^{5-2x}=12.$$
Обозначим $$t=2^x>0$$. Тогда
$$t^2+\frac{32}{t^2}=12,$$
$$t^4-12t^2+32=0.$$
Пусть $$u=t^2$$. Получаем:
$$u^2-12u+32=0,$$
$$u=4 \text{ или } u=8.$$
Тогда
$$2^x=2 \Rightarrow x=1,\quad y=5-2\cdot1=3;$$
$$2^x=2\sqrt2 \Rightarrow x=\frac32,\quad y=5-2\cdot\frac32=2.$$
Проверим область определения:
$$3x-2y>0,\quad 5+x-3y>0.$$
Подходит только пара $$\left(\frac32,2\right)$$. - $$\begin{cases}
x^{\log_2 y}+y^{\log_2 x}=16,\\
\log_2 x-\log_2 y=2
\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\log_2\frac{x}{y}=2,\quad \frac{x}{y}=4,\quad x=4y.$$
Подставим в первое:
$$ (4y)^{\log_2 y}+y^{\log_2(4y)}=16.$$
Так как $$4=2^2$$, то
$$ (4y)^{\log_2 y}=2^{2\log_2 y}\cdot y^{\log_2 y}=y^{2\log_2 y}\cdot y^{\log_2 y}=y^{3\log_2 y},$$
удобнее сразу перейти к степеням по основанию 2:
$$x^{\log_2 y}=y^{\log_2 x}.$$
Значит,
$$2y^{\log_2 x}=16.$$
Но $$x=4y$$, поэтому
$$y^{\log_2(4y)}=8.$$
Тогда
$$\log_2(4y)\cdot \log_2 y=3.$$
Обозначим $$t=\log_2 y$$. Получаем:
$$(t+2)t=3,$$
$$t^2+2t-3=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=-3.$$
Следовательно,
$$y=2 \text{ или } y=\frac18.$$
Тогда
$$x=8 \text{ или } x=\frac12.$$
Ответ:
$$\left(\frac12,\frac18\right),\ (8,2).$$ - $$\begin{cases}
\log_x(3x+2y)=2,\\
\log_y(2x+3y)=2
\end{cases}$$
Тогда
$$3x+2y=x^2,\qquad 2x+3y=y^2.$$
Вычтем второе из первого:
$$x^2-y^2=x-y,$$
$$(x-y)(x+y)=x-y,$$
$$(x-y)(x+y-1)=0.$$
Рассмотрим случаи.1) $$x=y.$$
Тогда
$$3x+2x=x^2,$$
$$x^2-5x=0,$$
$$x(x-5)=0.$$
С учётом области определения $$x>0,\ x\ne1,\ y>0,\ y\ne1$$ получаем:
$$x=y=5.$$2) $$x+y=1.$$
Тогда $$y=1-x$$, и
$$3x+2(1-x)=x^2,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Ни одно значение не подходит области определения.Значит, единственное решение:
$$(5,5).$$ - $$\begin{cases}
2-\log_2 y=2\log_2(x+y),\\
\log_2(x+y)+\log_2(x^2-xy+y^2)=1
\end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\log_2 4-\log_2 y=\log_2(x+y)^2,$$
$$\log_2\frac{4}{y}=\log_2(x+y)^2,$$
$$\frac{4}{y}=(x+y)^2.$$
Из второго:
$$\log_2\bigl((x+y)(x^2-xy+y^2)\bigr)=1,$$
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=2.$$
Но
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3,$$
значит
$$x^3+y^3=2.$$
Из первого уравнения:
$$y(x+y)^2=4.$$
Подставим $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=2$$ и рассмотрим отношение
$$\frac{y(x+y)}{x^2-xy+y^2}=2.$$
Тогда
$$xy+y^2=2x^2-2xy+2y^2,$$
$$2x^2-3xy+y^2=0.$$
Решая как квадратное относительно $$x$$:
$$x=\frac{3y\pm y}{4},$$
$$x=\frac y2 \text{ или } x=y.$$1) $$x=\frac y2.$$
Тогда
$$\left(\frac y2\right)^3+y^3=2,$$
$$\frac{y^3}{8}+y^3=2,$$
$$\frac{9y^3}{8}=2,$$
$$y^3=\frac{16}{9},$$
$$y=\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}},\quad x=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}.$$2) $$x=y.$$
Тогда
$$2y^3=2,$$
$$y=1,\quad x=1.$$
С учётом области определения $$x+y>0,\ y>0,\ x>0$$ получаем оба решения.Ответ:
$$\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}},\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}\right),\ (1,1).$$ - $$\begin{cases}
(x+y)3^{\,y-x}=\dfrac{5}{27},\\
3\log_5(x+y)=x-y
\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\log_5(x+y)=\frac{x-y}{3},$$
$$x+y=5^{\frac{x-y}{3}}.$$
Подставим в первое:
$$5^{\frac{x-y}{3}} \cdot 3^{\,y-x}=\frac{5}{27}.$$
Так как $$y-x=-\,(x-y)$$, получаем:
$$5^{\frac{x-y}{3}}\cdot 3^{-(x-y)}=\frac{5}{27}.$$
Проверим значение $$x-y=3$$:
$$5^{1}\cdot 3^{-3}=\frac{5}{27},$$
значит
$$x-y=3.$$
Тогда из второго уравнения:
$$x+y=5.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases}
x+y=5,\\
x-y=3
\end{cases}$$
$$x=4,\quad y=1.$$
Область определения: $$x+y>0$$, значит решение подходит.
Ответ
1) $$\left(\frac32,2\right)$$;
2) $$\left(\frac12,\frac18\right),\ (8,2)$$;
3) $$\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}},\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}\right),\ (1,1)$$;
4) $$\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}},\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}\right),\ (1,1)$$;
5) $$ (4,1) $$
