Упр.6.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) {(9^x-4·3^(5-y)+27=0, lg (2y-3x)=lg (4-4x+y));
2) {(x^log_3 y+y^log_3 x=18, log_3 x+log_3 y=3);
3) {(x^log_8 y+y^log_8 x=4, log_4 x-log_4 y=1);
4) {(log_y x+log_x y=5/2, xy=27);
5) {(log_3 (x+2y)+log_(1/3) (x-2y)=1, x^2+y^2=4+1/2 y);
6) {(x^lg y=2, xy=20).
Из второго уравнения:
$$\lg(2y-3x)=\lg(4-4x+y)\Rightarrow 2y-3x=4-4x+y,$$
откуда
$$y=4-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$9^x-4\cdot 3^{5-(4-x)}+27=0,$$
$$9^x-4\cdot 3^{x+1}+27=0,$$
$$3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0.$$
Обозначим $$t=3^x$$. Тогда
$$t^2-12t+27=0,$$
$$D=144-108=36,$$
$$t_1=3,\quad t_2=9.$$
Значит,
$$3^x=3 \Rightarrow x=1,\qquad 3^x=9 \Rightarrow x=2.$$
Тогда
$$y=4-x \Rightarrow y=3 \text{ или } y=2.$$
Проверка области определения:
$$2y-3x>0.$$
Пара $$$(1;3)$$$ подходит, а $$$(2;2)$$$ не подходит.Из второго уравнения:
$$\log_3 x+\log_3 y=3 \Rightarrow \log_3(xy)=3,$$
$$xy=27.$$
Тогда $$x=\dfrac{27}{y}$$. Подставим в первое уравнение:
$$\left(\dfrac{27}{y}\right)^{\log_3 y}+y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}=18.$$
Используем свойства степеней и логарифмов:
$$\left(\dfrac{27}{y}\right)^{\log_3 y}=y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}.$$
Поэтому
$$2\cdot y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}=18,$$
$$y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}=9.$$
Возьмём логарифм по основанию 3:
$$\log_3 y\cdot \log_3\left(\frac{27}{y}\right)=2.$$
Пусть $$u=\log_3 y$$. Тогда
$$u(3-u)=2,$$
$$u^2-3u+2=0,$$
$$u_1=1,\quad u_2=2.$$
Следовательно,
$$y_1=3,\quad y_2=9,$$
$$x_1=9,\quad x_2=3.$$Из второго уравнения:
$$\log_4 x-\log_4 y=1 \Rightarrow \log_4\frac{x}{y}=1,$$
$$\frac{x}{y}=4,$$
$$x=4y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^{\log_8 y}+y^{\log_8 x}=4,$$
$$y^{\log_8(4y)}+y^{\log_8(4y)}=4,$$
$$2y^{\log_8(4y)}=4,$$
$$y^{\log_8(4y)}=2.$$
Возьмём логарифм по основанию 8:
$$\log_8(4y)\cdot \log_8 y=\frac13.$$
Пусть $$t=\log_8 y$$. Тогда
$$\log_8(4y)=\log_8 4+\log_8 y=\frac23+t,$$
и получаем
$$t\left(t+\frac23\right)=\frac13,$$
$$3t^2+2t-1=0.$$
Отсюда
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac13.$$
Значит,
$$y_1=8^{-1}=\frac18,\quad y_2=8^{1/3}=2,$$
$$x_1=4y_1=\frac12,\quad x_2=4y_2=8.$$Из второго уравнения:
$$xy=27 \Rightarrow x=\frac{27}{y}.$$
Тогда первое уравнение примет вид
$$\log_y\frac{27}{y}+\log_{\frac{27}{y}}y=\frac52.$$
Обозначим
$$a=\log_y\frac{27}{y}.$$
Тогда
$$\log_{\frac{27}{y}}y=\frac1a,$$
и получаем
$$a+\frac1a=\frac52.$$
Умножим на $$a$$:
$$2a^2-5a+2=0,$$
$$a_1=\frac12,\quad a_2=2.$$
Если $$a=\frac12$$, то
$$\log_y\frac{27}{y}=\frac12 \Rightarrow \frac{27}{y}=\sqrt{y},$$
$$y^{3/2}=27,\quad y=9,\quad x=3.$$
Если $$a=2$$, то
$$\log_y\frac{27}{y}=2 \Rightarrow \frac{27}{y}=y^2,$$
$$y^3=27,\quad y=3,\quad x=9.$$Из первого уравнения:
$$\log_3(x+2y)+\log_{1/3}(x-2y)=1.$$
Так как
$$\log_{1/3}(x-2y)=-\log_3(x-2y),$$
то
$$\log_3\frac{x+2y}{x-2y}=1,$$
$$\frac{x+2y}{x-2y}=3.$$
Тогда
$$x+2y=3x-6y,$$
$$2x=8y,$$
$$x=4y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+y^2=4+\frac12 y,$$
$$16y^2+y^2=4+\frac12 y,$$
$$17y^2-\frac12 y-4=0,$$
$$34y^2-y-8=0.$$
Решая квадратное уравнение, получаем
$$y=\frac12 \text{ или } y=-\frac{8}{17}.$$
По области определения нужно
$$x+2y>0,\quad x-2y>0,$$
значит подходит только $$y=\frac12$$. Тогда
$$x=4y=2.$$Из второго уравнения:
$$xy=20 \Rightarrow y=\frac{20}{x}.$$
Подставим в первое:
$$x^{\lg\left(\frac{20}{x}\right)}=2.$$
Возьмём десятичный логарифм:
$$\lg x\cdot \lg\left(\frac{20}{x}\right)=\lg 2.$$
Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда
$$t(\lg 20-t)=\lg 2.$$
Так как $$\lg 20=\lg 2+1,$$ получаем
$$t^2-(\lg 2+1)t+\lg 2=0.$$
Отсюда
$$t_1=1,\quad t_2=\lg 2.$$
Значит,
$$x_1=10,\quad x_2=2,$$
$$y_1=2,\quad y_2=10.$$
Ответ
1) $$ (1;3) $$;
2) $$ (3;9),\ (9;3) $$;
3) $$ \left(\frac12;\frac18\right),\ (8;2) $$;
4) $$ (3;9),\ (9;3) $$;
5) $$ (2;\frac12) $$;
6) $$ (2;10),\ (10;2) $$.
