Упр.6.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^log_2 10+10^log_2 x=200; 2) 7^(log_7 x)^2+x^log_7 x=14.

1. $$x^{\log_2 10}+10^{\log_2 x}=200$$

   Преобразуем первое слагаемое:

   $$x^{\log_2 10}=\left(2^{\log_2 x}\right)^{\log_2 10}=2^{\log_2 x\cdot \log_2 10}$$

   Удобнее заметить, что

   $$x^{\log_2 10}=10^{\log_2 x}$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$10^{\log_2 x}+10^{\log_2 x}=200$$

   $$2\cdot 10^{\log_2 x}=200$$

   $$10^{\log_2 x}=100=10^2$$

   Следовательно,

   $$\log_2 x=2$$

   $$x=2^2=4$$

2. $$7^{(\log_7 x)^2}+x^{\log_7 x}=14$$

   Преобразуем второе слагаемое:

   $$x^{\log_7 x}=\left(7^{\log_7 x}\right)^{\log_7 x}=7^{(\log_7 x)^2}$$

   Тогда

   $$7^{(\log_7 x)^2}+7^{(\log_7 x)^2}=14$$

   $$2\cdot 7^{(\log_7 x)^2}=14$$

   $$7^{(\log_7 x)^2}=7$$

   $$ (\log_7 x)^2=1$$

   $$\log_7 x=1 \quad \text{или} \quad \log_7 x=-1$$

   Отсюда

   $$x=7 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{7}$$

Ответ

1) $$4$$; 2) $$\frac{1}{7},\,7$$.