Упр.6.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^lg 5+5^lg x=250; 2) 3^(log_3 x)^2+x^log_3 x=18.

1) Пусть $$a=\lg x.$$ Тогда $$x=10^a,$$ и уравнение принимает вид

$$x^{\lg 5}+5^{\lg x}=250.$$

Так как $$x^{\lg 5}=(10^a)^{\lg 5}=10^{a\lg 5}=5^{\lg x},$$ то оба слагаемых равны, значит

$$2\cdot 5^{\lg x}=250,$$

$$5^{\lg x}=125=5^3,$$

$$\lg x=3,$$

$$x=10^3=1000.$$

2) Обозначим $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$x=3^t,$$ и уравнение перепишется так:

$$3^{(\log_3 x)^2}+x^{\log_3 x}=18,$$

$$3^{t^2}+(3^t)^t=18,$$

$$3^{t^2}+3^{t^2}=18,$$

$$2\cdot 3^{t^2}=18,$$

$$3^{t^2}=9=3^2,$$

$$t^2=2,$$

$$t=\pm \sqrt{2}.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$\log_3 x=\sqrt{2}\quad \Rightarrow \quad x=3^{\sqrt{2}},$$

$$\log_3 x=-\sqrt{2}\quad \Rightarrow \quad x=3^{-\sqrt{2}}.$$

Ответ

1) $$1000$$; 2) $$3^{-\sqrt{2}},\ 3^{\sqrt{2}}.$$