Упр.6.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 6.30. Докажите, что при x > 0, y > 0, a > 0 и «a» не равном 1 выполняется равенство x^log_a y=y^log_a x.

Используем свойство логарифмов:

$$\log_a x \cdot \log_x y=\log_a y.$$

Тогда

$$\log_a x \cdot \log_x y=\log_a y,$$

откуда, разделив обе части на $$\log_a x$$, получаем

$$\log_x y=\frac{\log_a y}{\log_a x}.$$

По формуле перехода к новому основанию

$$\log_x y=\frac{\log_a y}{\log_a x}.$$

Аналогично

$$\log_y x=\frac{\log_a x}{\log_a y}.$$

Теперь возьмём степени с основанием $$a$$:

$$x^{\log_a y}=\left(a^{\log_a x}\right)^{\log_a y}=a^{\log_a x\cdot \log_a y},$$

$$y^{\log_a x}=\left(a^{\log_a y}\right)^{\log_a x}=a^{\log_a y\cdot \log_a x}.$$

Показатели степеней одинаковы, значит, равны и сами выражения:

$$x^{\log_a y}=y^{\log_a x}.$$

Ответ

$$x^{\log_a y}=y^{\log_a x}.$$