Упр.6.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_п (x+1)=log_п (4x-5); 3) lg (x^2+2)=lg (3x+6).
2) log_5 (3x-5)=log_5 (x-3);

1. $$\log_{n}(x+1)=\log_{n}(4x-5)$$

   Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

   $$x+1=4x-5$$

   $$3x=6$$

   $$x=2$$

   Проверим область определения:

   $$x+1>0,\quad 4x-5>0$$

   При $$x=2$$ получаем:

   $$2+1>0,\quad 4\cdot 2-5>0$$

   Значит, $$x=2$$ подходит.

2. $$\log_{5}(3x-5)=\log_{5}(x-3)$$

   Приравниваем аргументы:

   $$3x-5=x-3$$

   $$2x=2$$

   $$x=1$$

   Проверим область определения:

   $$3x-5>0,\quad x-3>0$$

   То есть $$x>\frac{5}{3}$$ и $$x>3$$, значит $$x>3$$.

   Число $$x=1$$ не входит в область определения, поэтому корней нет.

3. $$\lg(x^2+2)=\lg(3x+6)$$

   Приравниваем аргументы:

   $$x^2+2=3x+6$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=4$$

   Проверим область определения:

   $$x^2+2>0,\quad 3x+6>0$$

   Первое неравенство верно при любых $$x$$, а из второго получаем $$x>-2$$. Оба найденных корня подходят.

Ответ

1) $$2$$; 2) корней нет; 3) $$-1,\ 4$$.