Упр.6.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) log_x 9+log_x^2 729=10; 3) log_x 4+2log_(4x) 4+3log_(16x) 4=0.
2) log_x (125x)·(log_25 x)^2=1;

Подробный ответ

$$\log_x 9+\log_{x^2}729=10.$$
Так как $$729=9^3,$$ а $$\log_{x^2}729=\dfrac{\log_x 729}{\log_x x^2}=\dfrac{3\log_x 9}{2},$$ получаем:
$$\log_x 9+\frac{3}{2}\log_x 9=10.$$
$$\frac{5}{2}\log_x 9=10,$$
$$\log_x 9=4.$$
Тогда
$$x^4=9,$$
$$x=\sqrt{3}.$$
$$\log_x(125x)\cdot \left(\log_{25}x\right)^2=1.$$
Переходим к основанию $$5$$:
$$\log_x(125x)=\frac{\log_5(125x)}{\log_5 x}=\frac{3+\log_5 x}{\log_5 x},$$
$$\log_{25}x=\frac{\log_5 x}{\log_5 25}=\frac{1}{2}\log_5 x.$$
Тогда
$$\frac{3+\log_5 x}{\log_5 x}\cdot \frac{1}{4}\log_5^2 x=1,$$
$$\frac{1}{4}(3+\log_5 x)\log_5 x=1,$$
$$\log_5^2 x+3\log_5 x-4=0.$$
Обозначим $$t=\log_5 x.$$ Тогда
$$t^2+3t-4=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=25,$$
$$t_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{-3+5}{2}=1.$$
Следовательно,
$$\log_5 x=-4 \Rightarrow x=5^{-4}=\frac{1}{625},$$
$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5.$$
$$3\log_x 4+2\log_{4x}4+3\log_{16x}4=0.$$
Пусть $$t=\log_4 x.$$ Тогда
$$\log_x 4=\frac{1}{t},\qquad \log_{4x}4=\frac{1}{1+t},\qquad \log_{16x}4=\frac{1}{2+t}.$$
Подставим:
$$\frac{3}{t}+\frac{2}{1+t}+\frac{3}{2+t}=0.$$
Умножим на $$t(1+t)(2+t)$$:
$$3(1+t)(2+t)+2t(2+t)+3t(1+t)=0.$$
$$6+9t+3t^2+4t+2t^2+3t+3t^2=0,$$
$$8t^2+16t+6=0,$$
$$4t^2+8t+3=0.$$
$$D=8^2-4\cdot 4\cdot 3=16,$$
$$t_1=\frac{-8-4}{8}=-\frac{3}{2},\qquad t_2=\frac{-8+4}{8}=-\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$\log_4 x=-\frac{3}{2}\Rightarrow x=4^{-3/2}=\frac{1}{8},$$
$$\log_4 x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}.$$