Упр.6.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) log_x (9x^2)·(log_3 x)^2=4;
2) 5log_(x/9) x+log_(9/x) x^3+8log_(9x^2) x^2=2;
3) (2-4log_12 2)/(log_12 (x+2))-1=log_6 (8-x)/log_6 (x+2);
4) log_(x+1) (x^3-9x+8)·log_(x-1) (x+1)=3.
$$\log_x(9x^2)\cdot (\log_3 x)^2=4$$
Преобразуем логарифм:
$$\log_x(9x^2)=\frac{\log_3(9x^2)}{\log_3 x}=\frac{2+\log_3 x^2}{\log_3 x}= \frac{2+2\log_3 x}{\log_3 x}.$$
Тогда
$$\frac{2+2\log_3 x}{\log_3 x}\cdot (\log_3 x)^2=4,$$
$$2(\log_3 x)^2+2\log_3 x-4=0,$$
$$ (\log_3 x)^2+\log_3 x-2=0.$$
Обозначим $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$t^2+t-2=0,$$
$$ (t-1)(t+2)=0.$$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=-2$$, значит
$$x=3$$ или $$x=3^{-2}=\frac{1}{9}.$$
$$5\log_{\frac{x}{9}}x+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2$$
Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$\log_{\frac{x}{9}}x=\frac{\log_3 x}{\log_3 x-\log_3 9}=\frac{t}{t-2},$$
$$\log_{\frac{9}{x}}x^3=\frac{3t}{2-t},$$
$$\log_{9x^2}x^2=\frac{2t}{2+2t}=\frac{t}{1+t}.$$
Подставим:
$$5\cdot \frac{t}{t-2}+\frac{3t}{2-t}+8\cdot \frac{t}{1+t}=2.$$
Так как $$\frac{3t}{2-t}=-\frac{3t}{t-2},$$ получаем
$$\frac{2t}{t-2}+\frac{8t}{1+t}=2.$$
Умножим на $$ (t-2)(t+1) $$:
$$2t(t+1)+8t(t-2)=2(t-2)(t+1),$$
$$2t^2+2t+8t^2-16t=2t^2-2t-4,$$
$$8t^2-12t+4=0,$$
$$2t^2-3t+1=0,$$
$$ (2t-1)(t-1)=0.$$
Отсюда $$t=\frac12$$ или $$t=1$$, значит
$$x=\sqrt{3}$$ или $$x=3.$$
$$\frac{2-4\log_{12}2}{\log_{12}(x+2)}-1=\frac{\log_6(8-x)}{\log_6(x+2)}$$
Так как $$4\log_{12}2=\log_{12}2^4=\log_{12}16,$$ то
$$2-4\log_{12}2=\log_{12}144-\log_{12}16=\log_{12}9.$$
Тогда
$$\frac{\log_{12}9}{\log_{12}(x+2)}-1=\frac{\log_6(8-x)}{\log_6(x+2)}.$$
По формуле перехода к новому основанию:
$$\frac{\log_{12}9}{\log_{12}(x+2)}=\log_{x+2}9,\qquad \frac{\log_6(8-x)}{\log_6(x+2)}=\log_{x+2}(8-x).$$
Получаем
$$\log_{x+2}9-1=\log_{x+2}(8-x).$$
Так как $$1=\log_{x+2}(x+2),$$ то
$$\log_{x+2}\frac{9}{x+2}=\log_{x+2}(8-x).$$
Следовательно,
$$\frac{9}{x+2}=8-x.$$
Решаем:
$$9=(8-x)(x+2),$$
$$9=16+6x-x^2,$$
$$x^2-6x-7=0,$$
$$ (x-7)(x+1)=0.$$
С учётом ОДЗ: $$x+2>0,\ x+2\ne 1,\ 8-x>0,$$ получаем только
$$x=7.$$
$$\log_{x+1}(x^3-9x+8)\cdot \log_{x-1}(x+1)=3$$
Преобразуем:
$$\log_{x+1}(x^3-9x+8)=3\log_{x+1}(x-1),$$
поэтому
$$\log_{x-1}(x^3-9x+8)=3.$$
Тогда
$$x^3-9x+8=(x-1)^3.$$
Раскроем скобки:
$$x^3-9x+8=x^3-3x^2+3x-1,$$
$$3x^2-12x+9=0,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$ (x-1)(x-3)=0.$$
С учётом ОДЗ: $$x-1>0,\ x+1>0,\ x\ne 2,$$ получаем
$$x=3.$$
Ответ
1) $$x=\frac{1}{9},\ 3$$; 2) $$x=\sqrt{3},\ 3$$; 3) $$x=7$$; 4) $$x=3$$.
