Упр.6.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^log_3 x=81; 3) x^(log_2 x-2)=256;
2) x^lg x=100x; 4) (x^(1/3))^lg x=10^(6+lg x).

1. $$x^{\log_3 x}=81$$
   
   Применим логарифм по основанию $3$:
   $$\log_3\left(x^{\log_3 x}\right)=\log_3 81$$
   $$\log_3 x\cdot \log_3 x=4$$
   $$\log_3^2 x=4$$
   $$\log_3 x=\pm 2$$
   Тогда
   $$x=3^{-2}=\frac{1}{9} \quad \text{или} \quad x=3^2=9.$$
2. $$x^{\lg x}=100x$$
   Применим логарифм по основанию $10$:
   $$\lg\left(x^{\lg x}\right)=\lg(100x)$$
   $$\lg x\cdot \lg x=\lg 100+\lg x$$
   $$\lg^2 x-\lg x-2=0$$
   Обозначим $t=\lg x$. Тогда
   $$t^2-t-2=0$$
   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$
   $$t=2 \quad \text{или} \quad t=-1$$
   Значит,
   $$x=10^2=100 \quad \text{или} \quad x=10^{-1}=0{,}1.$$
3. $$x^{\log_2 x-2}=256$$
   Применим логарифм по основанию $2$:
   $$\log_2\left(x^{\log_2 x-2}\right)=\log_2 256$$
   $$(\log_2 x-2)\cdot \log_2 x=8$$
   $$\log_2^2 x-2\log_2 x-8=0$$
   Обозначим $t=\log_2 x$. Тогда
   $$t^2-2t-8=0$$
   $$\left(t-4\right)\left(t+2\right)=0$$
   $$t=4 \quad \text{или} \quad t=-2$$
   Следовательно,
   $$x=2^4=16 \quad \text{или} \quad x=2^{-2}=\frac{1}{4}.$$
4. $$\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\lg x}=10^{6+\lg x}$$
   Представим левую часть через степень с основанием $10$:
   $$\left(x^{1/3}\right)^{\lg x}=10^{6+\lg x}$$
   $$x^{\frac{1}{3}\lg x}=10^{6+\lg x}$$
   Применим логарифм по основанию $10$:
   $$\frac{1}{3}\lg x\cdot \lg x=6+\lg x$$
   $$\frac{1}{3}\lg^2 x-\lg x-6=0$$
   Умножим на $3$:
   $$\lg^2 x-3\lg x-18=0$$
   Обозначим $t=\lg x$. Тогда
   $$t^2-3t-18=0$$
   $$\left(t-6\right)\left(t+3\right)=0$$
   $$t=6 \quad \text{или} \quad t=-3$$
   Значит,
   $$x=10^6 \quad \text{или} \quad x=10^{-3}.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{9},\ 9$$; 2) $$0{,}1,\ 100$$; 3) $$\frac{1}{4},\ 16$$; 4) $$0{,}001,\ 1000000$$.