Упр.6.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^log_5 x=5; 3) x^(log_3 x-3)=1/9;
2) x^(lg x+2)=1000; 4) x^log_6 x=216x^2.

1. $$x^{\log_5 x}=5$$
   
   Возьмём логарифм по основанию $$5$$:
   $$\log_5\left(x^{\log_5 x}\right)=\log_5 5$$
   $$\log_5 x\cdot \log_5 x=1$$
   $$\left(\log_5 x\right)^2=1$$
   $$\log_5 x=\pm 1$$
   Тогда
   $$x=5^{-1}=\frac{1}{5} \quad \text{или} \quad x=5^1=5.$$
2. $$x^{\lg x+2}=1000$$
   
   Возьмём десятичный логарифм:
   $$\lg\left(x^{\lg x+2}\right)=\lg 1000$$
   $$\left(\lg x+2\right)\lg x=3$$
   $$\lg^2 x+2\lg x-3=0$$
   Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда
   $$t^2+2t-3=0$$
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$
   $$t_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad t_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
   Значит,
   $$x=10^{-3}=0{,}001 \quad \text{или} \quad x=10^1=10.$$
3. $$x^{\log_3 x-3}=\frac{1}{9}$$
   
   Возьмём логарифм по основанию $$3$$:
   $$\log_3\left(x^{\log_3 x-3}\right)=\log_3\frac{1}{9}$$
   $$\left(\log_3 x-3\right)\log_3 x=-2$$
   $$\log_3^2 x-3\log_3 x+2=0$$
   Обозначим $$t=\log_3 x$$. Тогда
   $$t^2-3t+2=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$$
   $$t_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad t_2=\frac{3+1}{2}=2$$
   Следовательно,
   $$x=3^1=3 \quad \text{или} \quad x=3^2=9.$$
4. $$x^{\log_6 x}=216x^2$$
   
   Возьмём логарифм по основанию $$6$$:
   $$\log_6\left(x^{\log_6 x}\right)=\log_6(216x^2)$$
   $$\log_6 x\cdot \log_6 x=\log_6 216+\log_6 x^2$$
   Так как $$216=6^3$$, то $$\log_6 216=3$$, а при $$x>0$$ имеем $$\log_6 x^2=2\log_6 x$$. Тогда
   $$\log_6^2 x=3+2\log_6 x$$
   $$\log_6^2 x-2\log_6 x-3=0$$
   Обозначим $$t=\log_6 x$$. Тогда
   $$t^2-2t-3=0$$
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$
   $$t_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad t_2=\frac{2+4}{2}=3$$
   Значит,
   $$x=6^{-1}=\frac{1}{6} \quad \text{или} \quad x=6^3=216.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{5},\ 5$$; 2) $$0{,}001,\ 10$$; 3) $$3,\ 9$$; 4) $$\frac{1}{6},\ 216$$.