Упр.6.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3lg^2 x^2-lg x-1=0;
2) log_3 x^2·log_3 (x/27)+4=0;
3) log_7 (7x)·log_7 (x/7)=log_7 x^2-1;
4) lg^2 (10x)+lg (10x)=6+3lg x;
5) (log_6 (36x))^2+log_6 (x^2/216)=8;
6) log_5 (log_2 x)+log_5 (log_2 x^3-14)=1.

1. $$3\lg^2 x^2-\lg x-1=0$$
   
   Так как $$\lg x^2=2\lg x,$$ получаем:
   $$12\lg^2 x-\lg x-1=0.$$
   Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда
   $$
   12t^2-t-1=0.
   $$
   $$
   D=1+48=49.
   $$
   $$
   t_1=\frac{1-7}{24}=-\frac14,\qquad t_2=\frac{1+7}{24}=\frac13.
   $$
   Значит,
   $$
   x_1=10^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{10}},\qquad x_2=10^{1/3}=\sqrt[3]{10}.
   $$
2. $$\log_3 x^2\cdot \log_3\frac{x}{27}+4=0$$
   
   Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда
   $$
   \log_3 x^2=2t,\qquad \log_3\frac{x}{27}=t-3.
   $$
   Получаем:
   $$
   2t(t-3)+4=0,
   $$
   $$
   2t^2-6t+4=0,
   $$
   $$
   t^2-3t+2=0.
   $$
   $$
   (t-1)(t-2)=0.
   $$
   Отсюда
   $$
   t_1=1,\qquad t_2=2.
   $$
   Тогда
   $$
   x_1=3,\qquad x_2=9.
   $$
3. $$\log_7(7x)\cdot \log_7\frac{x}{7}=\log_7 x^2-1$$
   
   Пусть $$t=\log_7 x.$$ Тогда
   $$
   \log_7(7x)=1+t,\qquad \log_7\frac{x}{7}=t-1,\qquad \log_7 x^2=2t.
   $$
   Получаем:
   $$
   (1+t)(t-1)=2t-1.
   $$
   $$
   t^2-1=2t-1,
   $$
   $$
   t^2-2t=0,
   $$
   $$
   t(t-2)=0.
   $$
   Значит,
   $$
   t_1=0,\qquad t_2=2.
   $$
   Тогда
   $$
   x_1=1,\qquad x_2=49.
   $$
4. $$\lg^2(10x)+\lg(10x)=6+3\lg x$$
   
   Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда
   $$
   \lg(10x)=1+t.
   $$
   Получаем:
   $$
   (1+t)^2+(1+t)=6+3t.
   $$
   $$
   t^2+2t+1+1+t=6+3t,
   $$
   $$
   t^2-4=0.
   $$
   $$
   t=\pm 2.
   $$
   Тогда
   $$
   x_1=10^{-2}=0{,}01,\qquad x_2=10^2=100.
   $$
5. $$\left(\log_6(36x)\right)^2+\log_6\frac{x^2}{216}=8$$
   
   Пусть $$t=\log_6 x.$$ Тогда
   $$
   \log_6(36x)=2+t,\qquad \log_6\frac{x^2}{216}=2t-3.
   $$
   Получаем:
   $$
   (2+t)^2+(2t-3)=8,
   $$
   $$
   t^2+6t-7=0.
   $$
   $$
   D=64.
   $$
   $$
   t_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-6+8}{2}=1.
   $$
   Тогда
   $$
   x_1=6^{-7},\qquad x_2=6.
   $$
6. $$\log_5(\log_2 x)+\log_5(\log_2 x^3-14)=1$$
   
   Объединим логарифмы:
   $$
   \log_5\Bigl(\log_2 x\cdot(\log_2 x^3-14)\Bigr)=1.
   $$
   Так как $$\log_2 x^3=3\log_2 x,$$ то
   $$
   \log_2 x\cdot(3\log_2 x-14)=5.
   $$
   Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда
   $$
   3t^2-14t-5=0.
   $$
   $$
   D=256.
   $$
   $$
   t_1=\frac{14-16}{6}=-\frac13,\qquad t_2=\frac{14+16}{6}=5.
   $$
   Проверим область определения:
   $$
   t>0,\qquad 3t-14>0.
   $$
   Подходит только $$t=5.$$ Тогда
   $$
   x=2^5=32.
   $$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sqrt[4]{10}},\ \sqrt[3]{10}$$;
2) $$3,\ 9$$;
3) $$1,\ 49$$;
4) $$0{,}01,\ 100$$;
5) $$6^{-7},\ 6$$;
6) $$32$$.