Упр.6.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/4 log_2 x^4+log_2 (x+10)=3+log_2 3; 2) 1/2 log_6 x^2+log_6 (5-x)=1.

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac14\log_2 x^4+\log_2(x+10)=3+\log_2 3.$$

Умножим обе части на $$4$$:

$$\log_2 x^4+4\log_2(x+10)=12+4\log_2 3.$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_2\bigl(x^4(x+10)^4\bigr)=\log_2(2^{12}\cdot 3^4).$$

Тогда

$$\bigl(x(x+10)\bigr)^4=331776.$$

Отсюда возможны два случая:

$$x(x+10)=24 \quad \text{или} \quad x(x+10)=-24.$$

1) $$x^2+10x-24=0,$$

$$D=10^2+4\cdot 24=196,$$

$$x=\frac{-10\pm 14}{2}.$$

Получаем $$x=-12$$ и $$x=2$$.

2) $$x^2+10x+24=0,$$

$$D=10^2-4\cdot 24=4,$$

$$x=\frac{-10\pm 2}{2}.$$

Получаем $$x=-6$$ и $$x=-4$$.

Проверим область определения: $$x\ne 0$$, $$x+10>0$$, то есть $$x>-10$$. Поэтому число $$-12$$ не подходит.

Итак, решения: $$x=-6,\,-4,\,2.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac12\log_6 x^2+\log_6(5-x)=1.$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$\log_6 x^2+2\log_6(5-x)=2.$$

Тогда

$$\log_6\bigl(x^2(5-x)^2\bigr)=\log_6 36,$$

значит

$$\bigl(x(5-x)\bigr)^2=36.$$

Отсюда

$$x(5-x)=6 \quad \text{или} \quad x(5-x)=-6.$$

1) $$x(5-x)=6,$$

$$x^2-5x+6=0,$$

$$x=2 \text{ или } x=3.$$

2) $$x(5-x)=-6,$$

$$x^2-5x-6=0,$$

$$x=-1 \text{ или } x=6.$$

Проверим область определения: $$x\ne 0$$ и $$5-x>0,$$ то есть $$x<5.$$

Число $$6$$ не подходит, остальные подходят.

Итак, решения: $$x=-1,\,2,\,3.$$

Ответ

1) $$-6,\,-4,\,2$$; 2) $$-1,\,2,\,3$$.