Упр.6.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_2 (x-5)^2-2log_2 (x+2)=2; 2) 1/2 lg x^2+lg (x+7)=1.

1. $$\log_2 (x-5)^2-2\log_2 (x+2)=2$$

   Используем свойство логарифмов:

   $$2\log_2(x+2)=\log_2 (x+2)^2$$

   Тогда

   $$\log_2 (x-5)^2-\log_2 (x+2)^2=2$$

   $$\log_2 \frac{(x-5)^2}{(x+2)^2}=2$$

   $$\frac{(x-5)^2}{(x+2)^2}=4$$

   $$ (x-5)^2=4(x+2)^2 $$

   $$x^2-10x+25=4x^2+16x+16$$

   $$3x^2+26x-9=0$$

   $$D=26^2-4\cdot 3\cdot(-9)=676+108=784$$

   $$x_{1,2}=\frac{-26\pm 28}{6}$$

   $$x_1=-9,\quad x_2=\frac13$$

   Проверим область определения: $$x-5\neq 0,\; x+2>0$$, то есть $$x>-2$$.

   Значение $$x=-9$$ не подходит, а $$x=\frac13$$ подходит.

2. $$\frac12 \lg x^2+\lg(x+7)=1$$

   Умножим уравнение на 2:

   $$\lg x^2+2\lg(x+7)=2$$

   $$\lg x^2+\lg (x+7)^2=2$$

   $$\lg\bigl(x^2(x+7)^2\bigr)=2$$

   $$\bigl(x(x+7)\bigr)^2=100$$

   Отсюда

   $$x(x+7)=10 \quad \text{или} \quad x(x+7)=-10$$

   1) $$x^2+7x-10=0$$

   $$D=49+40=89$$

   $$x_{1,2}=\frac{-7\pm \sqrt{89}}{2}$$

   2) $$x^2+7x+10=0$$

   $$x^2+7x+10=(x+5)(x+2)=0$$

   $$x=-5,\; x=-2$$

   Проверим ОДЗ: $$x\neq 0,\; x+7>0$$, то есть $$x>-7$$.

   Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

1) $$x=\frac13$$; 2) $$x=-5,\,-2,\,\frac{-7-\sqrt{89}}{2},\,\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$$.