Упр.6.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2 lg x/lg (8x-7)=1; 4) log_(x+1) (x+3)=2;
2) (log_4 (x^2+x-2)-1)/log_4 (x-1)=0; 5) log_(x-2) (2x^2-11x+16)=2.
3) log_x (2x^2-7x+12)=2;

1. $$\frac{2\lg x}{\lg(8x-7)}=1$$

   Тогда

   $$2\lg x=\lg(8x-7)$$

   $$\lg x^2=\lg(8x-7)$$

   $$x^2=8x-7$$

   $$x^2-8x+7=0$$

   $$D=8^2-4\cdot 7=64-28=36$$

   $$x_1=\frac{8-6}{2}=1,\quad x_2=\frac{8+6}{2}=7$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x>0,\quad 8x-7>0,\quad \lg(8x-7)\ne 0$$

   Отсюда $$x>\frac78,\ x\ne 1$$. Подходит только $$x=7$$.

2. $$\frac{\log_4(x^2+x-2)-1}{\log_4(x-1)}=0$$

   Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\log_4(x^2+x-2)-1=0$$

   $$\log_4(x^2+x-2)=1$$

   $$x^2+x-2=4$$

   $$x^2+x-6=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-1+5}{2}=2$$

   ОДЗ:

   $$x-1>0,\quad x-1\ne 1$$

   $$x>1,\quad x\ne 2$$

   Ни одно из найденных значений не подходит. Корней нет.

3. $$\log_x(2x^2-7x+12)=2$$

   Тогда

   $$2x^2-7x+12=x^2$$

   $$x^2-7x+12=0$$

   $$D=49-48=1$$

   $$x_1=\frac{7-1}{2}=3,\quad x_2=\frac{7+1}{2}=4$$

   ОДЗ:

   $$x>0,\quad x\ne 1$$

   Оба корня подходят.

4. $$\log_{x+1}(x+3)=2$$

   Тогда

   $$x+3=(x+1)^2$$

   $$x+3=x^2+2x+1$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

   ОДЗ:

   $$x+1>0,\quad x+1\ne 1$$

   $$x>-1,\quad x\ne 0$$

   Подходит только $$x=1$$.

5. $$\log_{x-2}(2x^2-11x+16)=2$$

   Тогда

   $$2x^2-11x+16=(x-2)^2$$

   $$2x^2-11x+16=x^2-4x+4$$

   $$x^2-7x+12=0$$

   $$D=49-48=1$$

   $$x_1=\frac{7-1}{2}=3,\quad x_2=\frac{7+1}{2}=4$$

   ОДЗ:

   $$x-2>0,\quad x-2\ne 1$$

   $$x>2,\quad x\ne 3$$

   Подходит только $$x=4$$.

Ответ

1) $$7$$; 2) корней нет; 3) $$3,\,4$$; 4) $$1$$; 5) $$4$$.