Упр.6.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 3(log_8 (-x))^2-2log_8 (-x)-1=0; 3) 3log_3 x+3log_x 3=10;
2) 2log_7 vx=(log_7 x)^2-6; 4) lg x/(lg x+2)-2/(lg x-1)=1.

Подробный ответ

Пусть $$t=\log_8(-x)$$, тогда получаем квадратное уравнение:
$$3t^2-2t-1=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2\cdot 3}.$$
Тогда
$$t_1=-\frac13,\qquad t_2=1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_8(-x)=-\frac13 \Rightarrow -x=8^{-1/3}=\frac12 \Rightarrow x=-\frac12,$$
$$\log_8(-x)=1 \Rightarrow -x=8 \Rightarrow x=-8.$$
Пусть $$t=\log_7 x$$. Тогда $$\log_7\sqrt{x}=\frac12\log_7 x=\frac t2$$, и уравнение принимает вид:
$$2\cdot \frac t2=t^2-6,$$
то есть
$$t^2-t-6=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$
Получаем
$$t_1=-2,\qquad t_2=3.$$
Тогда
$$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=7^{-2}=\frac1{49},$$
$$\log_7 x=3 \Rightarrow x=7^3=343.$$
Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда $$\log_x 3=\frac1{\log_3 x}=\frac1t$$, и уравнение перепишется так:
$$3t+\frac{3}{t}=10.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-10t+3=0.$$
Найдём корни:
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2\cdot 3}.$$
Тогда
$$t_1=\frac13,\qquad t_2=3.$$
Следовательно,
$$\log_3 x=\frac13 \Rightarrow x=3^{1/3}=\sqrt[3]{3},$$
$$\log_3 x=3 \Rightarrow x=3^3=27.$$
Пусть $$t=\lg x$$. Тогда уравнение имеет вид:
$$\frac{t}{t+2}-\frac{2}{t-1}=1.$$
ОДЗ: $$t\ne -2,\; t\ne 1.$$
Умножим на $$ (t+2)(t-1) $$:
$$t(t-1)-2(t+2)=(t+2)(t-1).$$
Раскроем скобки:
$$t^2-t-2t-4=t^2+t-2,$$
$$-3t-4=t-2,$$
$$-4t=2,$$
$$t=-\frac12.$$
Тогда
$$\lg x=-\frac12 \Rightarrow x=10^{-1/2}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$$