Упр.6.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (log_2 x)^2+3log_2 x-4=0; 4) log_5 x+log_x 5=2,5;
2) (log_3 x)^2-log_3 x-2=0; 5) 2log_(1/6) x+3v(log_(1/6) x)-5=0;
3) lg^2 x-2 lg x^2+3=0; 6) 2/(lg (x+2)-3)+4/(lg (x+2)+1)=1.
$$\left(\log_2 x\right)^2+3\log_2 x-4=0.$$
Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда
$$t^2+3t-4=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.$$
$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}.$$
$$t_1=-4,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16},$$
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2.$$
$$\left(\log_3 x\right)^2-\log_3 x-2=0.$$
Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$t^2-t-2=0.$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9.$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
$$t_1=-1,\quad t_2=2.$$
Следовательно,
$$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=3^{-1}=\frac{1}{3},$$
$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9.$$
$$\lg^2 x-2\lg x^2+3=0.$$
Так как $$x>0$$, то $$\lg x^2=2\lg x$$. Получаем
$$\lg^2 x-4\lg x+3=0.$$
Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=3.$$
Значит,
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$
$$\lg x=3 \Rightarrow x=1000.$$
$$\log_5 x+\log_x 5=2{,}5.$$
Пусть $$t=\log_5 x$$. Тогда $$\log_x 5=\frac{1}{t}$$, и
$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-5t+2=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9.$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
$$t_1=\frac{1}{2},\quad t_2=2.$$
Тогда
$$\log_5 x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=5^{1/2}=\sqrt{5},$$
$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=5^2=25.$$
$$2\log_{1/6} x+3\sqrt{\log_{1/6} x}-5=0.$$
Пусть $$t=\sqrt{\log_{1/6} x}$$, тогда $$t^2=\log_{1/6} x$$. Получаем
$$2t^2+3t-5=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49.$$
$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{4}.$$
$$t_1=-\frac{5}{2},\quad t_2=1.$$
Так как $$t=\sqrt{\log_{1/6} x}\ge 0$$, подходит только $$t=1$$. Тогда
$$\log_{1/6} x=1 \Rightarrow x=\left(\frac{1}{6}\right)^1=\frac{1}{6}.$$
$$\frac{2}{\lg(x+2)-3}+\frac{4}{\lg(x+2)+1}=1.$$
Пусть $$t=\lg(x+2)$$. Тогда $$t\ne 3$$ и $$t\ne -1$$, а уравнение принимает вид
$$\frac{2}{t-3}+\frac{4}{t+1}=1.$$
Умножим на $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)$$:
$$2(t+1)+4(t-3)=(t-3)(t+1).$$
$$2t+2+4t-12=t^2-2t-3.$$
$$t^2-8t+7=0.$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36.$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=7.$$
Тогда
$$\lg(x+2)=1 \Rightarrow x+2=10 \Rightarrow x=8,$$
$$\lg(x+2)=7 \Rightarrow x+2=10^7 \Rightarrow x=10^7-2.$$
Ответ
1) $$\frac{1}{16};\ 2$$; 2) $$\frac{1}{3};\ 9$$; 3) $$10;\ 1000$$; 4) $$\sqrt{5};\ 25$$; 5) $$\frac{1}{6}$$; 6) $$8;\ 10^7-2$$.
