Упр.6.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_v3 (2^x-3)+log_v3 (2^x-1)=2;
2) lg (3^x-4)+lg (3^x-2)=1.

1) Рассмотрим уравнение

$$\log_{\sqrt{3}}(2^x-3)+\log_{\sqrt{3}}(2^x-1)=2.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_{\sqrt{3}}\bigl((2^x-3)(2^x-1)\bigr)=2.$$

Тогда

$$ (2^x-3)(2^x-1)=(\sqrt{3})^2=3.$$

Раскроем скобки:

$$2^{2x}-4\cdot 2^x+3=3,$$

$$2^{2x}-4\cdot 2^x=0,$$

$$2^x(2^x-4)=0.$$

Так как $$2^x>0,$$ то

$$2^x-4=0,$$

$$2^x=4,$$

$$x=2.$$

Проверим область определения:

$$2^x-3>0,\quad 2^x-1>0.$$

При $$x=2$$ получаем $$2^2-3=1>0$$ и $$2^2-1=3>0,$$ значит, корень подходит.

2) Решим уравнение

$$\lg(3^x-4)+\lg(3^x-2)=1.$$

Объединим логарифмы:

$$\lg\bigl((3^x-4)(3^x-2)\bigr)=1,$$

откуда

$$ (3^x-4)(3^x-2)=10.$$

Положим $$t=3^x.$$ Тогда

$$ (t-4)(t-2)=10,$$

$$ t^2-6t-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=36+8=44,$$

$$t=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2}=3\pm\sqrt{11}.$$

Так как $$t=3^x>0,$$ а также по ОДЗ

$$3^x-4>0,\quad 3^x-2>0,$$

то подходит только

$$3^x=3+\sqrt{11}.$$

Следовательно,

$$x=\log_3(3+\sqrt{11}).$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=\log_3(3+\sqrt{11})$$.