Упр.6.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_3 (5^x+2)+log_3 (5^x-1)=2+log_3 2;
2) log_2 (2^x+3)+log_2 (5-2^x)=4.

1) Рассмотрим уравнение

$$\log_3(5^x+2)+\log_3(5^x-1)=2+\log_3 2.$$

Объединим логарифмы и представим число $$2$$ как $$\log_3 9$$:

$$\log_3\bigl((5^x+2)(5^x-1)\bigr)=\log_3(9\cdot 2).$$

Тогда

$$ (5^x+2)(5^x-1)=18.$$

Раскроем скобки:

$$5^{2x}+5^x-2=18,$$

$$5^{2x}+5^x-20=0.$$

Сделаем замену $$t=5^x$$, где $$t>0$$. Получаем:

$$t^2+t-20=0,$$

$$D=1+80=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=-5,\quad t_2=4.$$

Так как $$t=5^x>0$$, значение $$t=-5$$ не подходит. Значит,

$$5^x=4,$$

$$x=\log_5 4.$$

Проверка области определения:

$$5^x+2>0,\quad 5^x-1>0 \Rightarrow 5^x>1,$$

и найденное значение этому условию удовлетворяет.

2) Рассмотрим уравнение

$$\log_2(2^x+3)+\log_2(5-2^x)=4.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_2\bigl((2^x+3)(5-2^x)\bigr)=4,$$

$$\log_2\bigl((2^x+3)(5-2^x)\bigr)=\log_2 16.$$

Следовательно,

$$ (2^x+3)(5-2^x)=16.$$

Раскроем скобки:

$$5\cdot 2^x-2^{2x}+15-3\cdot 2^x=16,$$

$$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0.$$

Сделаем замену $$t=2^x$$, где $$t>0$$:

$$t^2-2t+1=0,$$

$$ (t-1)^2=0,$$

$$t=1.$$

Тогда

$$2^x=1,$$

$$x=0.$$

Проверка области определения:

$$2^x+3>0,\quad 5-2^x>0 \Rightarrow 2^x<5,$$

при $$x=0$$ это условие выполняется.

Ответ

1) $$x=\log_5 4$$; 2) $$x=0$$.