Упр.6.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) log_7 x+log_7 (x+6)=1;
2) log_3 (5-x)+log_3 (3-x)=1;
3) log_(1/2) (4x-1)+log_(1/2) (x+1)=log_0,5 3,5;
4) log_0,6 (x+2)+log_0,6 (6-x)=log_0,6 (x+8);
5) log_2 (2x-1)-log_2 (x+2)=2-log_2 (x+1);
6) 2lg (x+1)-lg (4x-5)=lg (x-5).

Подробный ответ

$$\log_7 x+\log_7(x+6)=1$$
$$\log_7\bigl(x(x+6)\bigr)=1$$
$$x(x+6)=7$$
$$x^2+6x-7=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-7$$
ОДЗ: $$x>0$$, значит подходит только $$x=1$$.
$$\log_3(5-x)+\log_3(3-x)=1$$
$$\log_3\bigl((5-x)(3-x)\bigr)=1$$
$$ (5-x)(3-x)=3$$
$$x^2-8x+12=0$$
$$D=64-48=16$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=6$$
ОДЗ: $$5-x>0,\ 3-x>0$$, то есть $$x<3$$. Подходит только $$x=2$$.
$$\log_{1/2}(4x-1)+\log_{1/2}(x+1)=\log_{0,5}3{,}5$$
$$\log_{0,5}\bigl((4x-1)(x+1)\bigr)=\log_{0,5}3{,}5$$
$$ (4x-1)(x+1)=3{,}5$$
$$4x^2+3x-4{,}5=0$$
$$8x^2+6x-9=0$$
$$D=6^2-4\cdot 8\cdot(-9)=324$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 18}{16}$$
$$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{3}{4}$$
ОДЗ: $$4x-1>0,\ x+1>0$$, значит $$x>\frac14$$. Подходит только $$x=\frac34$$.
$$\log_{0,6}(x+2)+\log_{0,6}(6-x)=\log_{0,6}(x+8)$$
$$\log_{0,6}\bigl((x+2)(6-x)\bigr)=\log_{0,6}(x+8)$$
$$(x+2)(6-x)=x+8$$
$$6x-x^2+12-2x=x+8$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4$$
ОДЗ: $$x+2>0,\ 6-x>0$$, то есть $$-2<x<6$$. Оба корня подходят.
$$\log_2(2x-1)-\log_2(x+2)=2-\log_2(x+1)$$
$$\log_2\frac{2x-1}{x+2}=\log_2\frac{4}{x+1}$$
$$\frac{2x-1}{x+2}=\frac{4}{x+1}$$
$$(2x-1)(x+1)=4(x+2)$$
$$2x^2+x-x-1=4x+8$$
$$2x^2-3x-9=0$$
$$D=9+72=81$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 9}{4}$$
$$x_1=-\frac32,\quad x_2=3$$
ОДЗ: $$2x-1>0,\ x+2>0,\ x+1>0$$, значит $$x>\frac12$$. Подходит только $$x=3$$.
$$2\lg(x+1)-\lg(4x-5)=\lg(x-5)$$
$$\lg(x+1)^2=\lg\bigl((x-5)(4x-5)\bigr)$$
$$(x+1)^2=(x-5)(4x-5)$$
$$x^2+2x+1=4x^2-25x+25$$
$$3x^2-27x+24=0$$
$$x^2-9x+8=0$$
$$D=81-32=49$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=8$$
ОДЗ: $$x+1>0,\ 4x-5>0,\ x-5>0$$, то есть $$x>5$$. Подходит только $$x=8$$.