Упр.6.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) log_4 (x-3)+log_4 x=1;
2) log_0,5 (4-x)+log_0,5 (x-1)=-1;
3) lg (x-2)+lg (x-3)=1-lg 5;
4) log_3 (2x-1)+log_3 (x-4)=2;
5) lg v(5x-4)+lg v(x+1)=2+lg 0,18;
6) lg (x-1)+lg (x-3)=lg (1,5x-3);
7) log_2 (5-x)-log_2 (x-1)=1-log_2 (x+2);
8) 2log_5 (x+1)-log_5 (x+9)=log_5 (3x-17).

Подробный ответ

$$\log_4(x-3)+\log_4 x=1$$
$$\log_4\bigl(x(x-3)\bigr)=\log_4 4$$
$$x(x-3)=4$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=9+16=25,\quad x_1=-1,\quad x_2=4$$
ОДЗ: $$x-3>0,\ x>0 \Rightarrow x>3$$. Подходит только $$x=4$$.
$$\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(x-1)=-1$$
$$\log_{0,5}\bigl((4-x)(x-1)\bigr)=\log_{0,5}2$$
$$ (4-x)(x-1)=2$$
$$-x^2+5x-4=2$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$D=1,\quad x_1=2,\quad x_2=3$$
ОДЗ: $$4-x>0,\ x-1>0 \Rightarrow 1<x<4$$. Оба корня подходят.
$$\lg(x-2)+\lg(x-3)=1-\lg 5$$
$$\lg\bigl((x-2)(x-3)\bigr)=\lg 10-\lg 5=\lg 2$$
$$ (x-2)(x-3)=2$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=9,\quad x_1=1,\quad x_2=4$$
ОДЗ: $$x>3$$. Подходит только $$x=4$$.
$$\log_3(2x-1)+\log_3(x-4)=2$$
$$\log_3\bigl((2x-1)(x-4)\bigr)=\log_3 9$$
$$ (2x-1)(x-4)=9$$
$$2x^2-9x-5=0$$
$$D=121,\quad x_1=-\frac12,\quad x_2=5$$
ОДЗ: $$2x-1>0,\ x-4>0 \Rightarrow x>4$$. Подходит только $$x=5$$.
$$\lg\sqrt{5x-4}+\lg\sqrt{x+1}=2+\lg 0{,}18$$
$$\lg\sqrt{(5x-4)(x+1)}=\lg(100\cdot 0{,}18)=\lg 18$$
$$\sqrt{(5x-4)(x+1)}=18$$
$$ (5x-4)(x+1)=324$$
$$5x^2+x-328=0$$
$$D=6561,\quad x_1=-8{,}2,\quad x_2=8$$
ОДЗ: $$5x-4>0,\ x+1>0 \Rightarrow x>0{,}8$$. Подходит только $$x=8$$.
$$\lg(x-1)+\lg(x-3)=\lg(1{,}5x-3)$$
$$\lg\bigl((x-1)(x-3)\bigr)=\lg(1{,}5x-3)$$
$$x^2-4x+3=1{,}5x-3$$
$$2x^2-11x+12=0$$
$$D=25,\quad x_1=\frac32,\quad x_2=4$$
ОДЗ: $$x>3$$. Подходит только $$x=4$$.
$$\log_2(5-x)-\log_2(x-1)=1-\log_2(x+2)$$
$$\log_2\frac{5-x}{x-1}=\log_2\frac{2}{x+2}$$
$$\frac{5-x}{x-1}=\frac{2}{x+2}$$
$$ (5-x)(x+2)=2(x-1)$$
$$x^2-x-12=0$$
$$D=49,\quad x_1=-3,\quad x_2=4$$
ОДЗ: $$5-x>0,\ x-1>0 \Rightarrow 1<x<5$$. Подходит только $$x=4$$.
$$2\log_5(x+1)-\log_5(x+9)=\log_5(3x-17)$$
$$\log_5(x+1)^2-\log_5(x+9)=\log_5(3x-17)$$
$$\log_5\frac{(x+1)^2}{x+9}=\log_5(3x-17)$$
$$ (x+1)^2=(3x-17)(x+9)$$
$$x^2+2x+1=3x^2+10x-153$$
$$x^2+4x-77=0$$
$$D=324,\quad x_1=-11,\quad x_2=7$$
ОДЗ: $$x+1>0,\ x+9>0,\ 3x-17>0 \Rightarrow x>\frac{17}{3}$$. Подходит только $$x=7$$.