Упр.6.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/2 log_0,1 (2x+3)-log_0,1 (2x-3)=0;
2) log_3 (2^(2x)+2^x)=2log_9 12;
3) x-lg 5=x lg 5+2lg 2-lg (1+2^x).

1. $$\frac12\log_{0,1}(2x+3)-\log_{0,1}(2x-3)=0$$

   $$\frac12\log_{0,1}(2x+3)=\log_{0,1}(2x-3)$$

   $$\log_{0,1}\sqrt{2x+3}=\log_{0,1}(2x-3)$$

   $$\sqrt{2x+3}=2x-3$$

   $$2x+3=(2x-3)^2$$

   $$2x+3=4x^2-12x+9$$

   $$4x^2-14x+6=0$$

   $$2x^2-7x+3=0$$

   $$D=49-24=25$$

   $$x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{7+5}{4}=3$$

   Проверим область определения:
   $$2x-3>0,\quad x>\frac32$$

   Подходит только $$x=3$$.

2. $$\log_3(2^{2x}+2^x)=2\log_9 12$$

   Так как $$\log_9 12=\frac12\log_3 12,$$ то
   $$2\log_9 12=\log_3 12.$$

   Тогда
   $$\log_3(2^{2x}+2^x)=\log_3 12,$$
   значит
   $$2^{2x}+2^x=12.$$

   Обозначим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
   $$t^2+t-12=0$$
   $$\left(t-3\right)\left(t+4\right)=0.$$

   С учётом $$t>0$$ получаем $$t=3,$$ то есть
   $$2^x=3,\qquad x=\log_2 3.$$

3. $$x-\lg 5=x\lg 5+2\lg 2-\lg(1+2^x)$$

   Перенесём слагаемые:
   $$x-x\lg 5=\lg 5+2\lg 2-\lg(1+2^x).$$

   Используем свойства логарифмов:
   $$x\lg 10-x\lg 5=\lg 5+\lg 4-\lg(1+2^x).$$

   Тогда
   $$\lg\frac{10^x}{5^x}=\lg\frac{20}{1+2^x}.$$

   Следовательно,
   $$\frac{10^x}{5^x}=\frac{20}{1+2^x}.$$

   Так как $$\frac{10^x}{5^x}=2^x,$$ получаем
   $$2^x=\frac{20}{1+2^x}.$$

   Обозначим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
   $$t=\frac{20}{1+t}$$
   $$t^2+t-20=0$$
   $$\left(t-4\right)\left(t+5\right)=0.$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$t=4,$$ значит
   $$2^x=4,\qquad x=2.$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$\log_2 3$$; 3) $$2$$.