Упр.6.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 1/2 log_6 (5x+1)=log_6 (x-1);
2) log_5 (25^x-2·5^x)=2log_25 15;
3) log_v5 (16^x-6)=2+log_v5 (4^x-2);
4) x lg 3-1=2lg 3-lg (3^x+1).

Подробный ответ

$$\frac12\log_6(5x+1)=\log_6(x-1)$$
$$\log_6\sqrt{5x+1}=\log_6(x-1)$$
$$\sqrt{5x+1}=x-1$$
Возведём в квадрат:
$$5x+1=(x-1)^2$$
$$5x+1=x^2-2x+1$$
$$x^2-7x=0$$
$$x(x-7)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=7$$
Проверим ОДЗ: $$x-1>0$$, значит $$x>1$$. Подходит только $$x=7$$.
$$\log_5(25^x-2\cdot 5^x)=2\log_{25}15$$
$$2\log_{25}15=\log_5 15$$
Тогда
$$\log_5(25^x-2\cdot 5^x)=\log_5 15$$
$$25^x-2\cdot 5^x=15$$
$$5^{2x}-2\cdot 5^x-15=0$$
Обозначим $$t=5^x$$, тогда
$$t^2-2t-15=0$$
$$D=4+60=64$$
$$t_1=\frac{2-8}{2}=-3,\quad t_2=\frac{2+8}{2}=5$$
Так как $$t=5^x>0$$, получаем $$t=5$$, значит $$5^x=5$$ и $$x=1$$.
$$\log_{\sqrt5}(16^x-6)=2+\log_{\sqrt5}(4^x-2)$$
$$2=\log_{\sqrt5}5$$
Тогда
$$\log_{\sqrt5}(16^x-6)=\log_{\sqrt5}\bigl(5(4^x-2)\bigr)$$
$$16^x-6=5(4^x-2)$$
$$4^{2x}-6=5\cdot 4^x-10$$
$$4^{2x}-5\cdot 4^x+4=0$$
Обозначим $$t=4^x$$, тогда
$$t^2-5t+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad t_2=\frac{5+3}{2}=4$$
Значит,
$$4^x=1 \Rightarrow x=0,\qquad 4^x=4 \Rightarrow x=1$$
ОДЗ: $$4^x-2>0$$, то есть $$x>\frac12$$. Подходит только $$x=1$$.
$$x\lg 3-1=2\lg 3-\lg(3^x+1)$$
Перенесём логарифмы в одну сторону:
$$x\lg 3+\lg(3^x+1)=2\lg 3+1$$
$$\lg(3^x)+\lg(3^x+1)=\lg 9+\lg 10$$
$$\lg\bigl(3^x(3^x+1)\bigr)=\lg 90$$
$$3^x(3^x+1)=90$$
$$3^{2x}+3^x-90=0$$
Обозначим $$t=3^x$$, тогда
$$t^2+t-90=0$$
$$D=1+360=361$$
$$t_1=\frac{-1-19}{2}=-10,\quad t_2=\frac{-1+19}{2}=9$$
Так как $$t=3^x>0$$, получаем $$t=9$$, значит $$3^x=9$$ и $$x=2$$.