Упр.6.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) log_6 (9-x^2)=log_6 (1-2x);
2) lg (x^2+2x-3)=lg (2x^2-2);
3) log_0,7 (2x^2-9x+4)=2log_0,7 (x+2);
4) 2log_2 (-x)-log_2 (3x+8)=1.

Подробный ответ

$$\log_6(9-x^2)=\log_6(1-2x)$$
Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы:
$$9-x^2=1-2x$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36$$
$$x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{2+6}{2}=4$$
Проверим область определения:
$$1-2x>0 \Rightarrow x<\frac12$$
Подходит только $$x=-2$$.
$$\lg(x^2+2x-3)=\lg(2x^2-2)$$
Приравниваем аргументы:
$$x^2+2x-3=2x^2-2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
Проверим область определения:
$$x^2+2x-3>0,\qquad 2x^2-2>0$$
При $$x=1$$ получаем $$1+2-3=0$$ и $$2-2=0$$, а логарифм от нуля не определён.
Корней нет.
$$\log_{0,7}(2x^2-9x+4)=2\log_{0,7}(x+2)$$
Используем свойство логарифма:
$$2\log_{0,7}(x+2)=\log_{0,7}(x+2)^2$$
Тогда
$$2x^2-9x+4=(x+2)^2$$
$$2x^2-9x+4=x^2+4x+4$$
$$x^2-13x=0$$
$$x(x-13)=0$$
$$x_1=0,\qquad x_2=13$$
Проверим область определения:
$$x+2>0 \Rightarrow x>-2$$
Оба корня подходят.
$$2\log_2(-x)-\log_2(3x+8)=1$$
Перенесём второй логарифм вправо и используем свойства логарифмов:
$$2\log_2(-x)=1+\log_2(3x+8)$$
$$\log_2(-x)^2=\log_2 2+\log_2(3x+8)$$
$$\log_2 x^2=\log_2\bigl(2(3x+8)\bigr)$$
$$x^2=6x+16$$
$$x^2-6x-16=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-16)=100$$
$$x_1=\frac{6-10}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{6+10}{2}=8$$
Область определения:
$$-x>0 \Rightarrow x<0,\qquad 3x+8>0 \Rightarrow x>-\frac83$$
Значит, $$-\frac83<x<0$$. Подходит только $$x=-2$$.