Упр.5.42 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 5.42. При каких значениях параметра а наибольшее значение функции f(x)=-4(log_3 x)^2+20log_3 x-9a^2 на отрезке [3; 27] является отрицательным числом?

Подробный ответ

Положим $$t=\log_3 x.$$ Тогда при $$x\in[3;27]$$ получаем

$$1\le t\le 3.$$

Функция принимает вид

$$f(t)=-4t^2+20t-9a^2,\quad 1\le t\le 3.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$t_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-20}{2\cdot(-4)}=\frac{10}{4}=\frac52.$$

Так как $$\frac52\in[1;3],$$ то

$$f_{\max}=f\!\left(\frac52\right)=-4\cdot\frac{25}{4}+20\cdot\frac52-9a^2=-25+50-9a^2=25-9a^2.$$

По условию это наибольшее значение должно быть отрицательным:

$$25-9a^2<0,$$

$$9a^2>25,$$