Упр.5.41 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 5.41. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции f(x)=9(log_2 x)^2-30log_2 x+61-9a^2 на отрезке [1; 4] является положительным числом?

Подробный ответ

Положим $$t=\log_2 x.$$ Тогда при $$x\in[1;4]$$ получаем

$$0\le t\le 2.$$

Функция принимает вид

$$f(t)=9t^2-30t+61-9a^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому её наименьшее значение достигается в вершине:

$$t_0=\frac{-(-30)}{2\cdot 9}=\frac{30}{18}=\frac53.$$

Так как $$\frac53\in[0;2],$$ то

$$f_{\min}=f\!\left(\frac53\right)=9\cdot\frac{25}{9}-30\cdot\frac53+61-9a^2.$$

Вычислим:

$$f_{\min}=25-50+61-9a^2=36-9a^2.$$

По условию это наименьшее значение должно быть положительным: