Упр.5.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 5.40. Исследуйте на чётность функцию y=lg (v(x^2+1)+x).

Рассмотрим функцию $$y=\lg\left(\sqrt{x^2+1}+x\right).$$

Найдём область определения:

$$\sqrt{x^2+1}+x>0.$$

Так как $$\sqrt{x^2+1}>|x|,$$ то

$$\sqrt{x^2+1}+x>0$$

при любом $$x\in \mathbb{R}.$$ Значит, $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\lg\left(\sqrt{(-x)^2+1}+(-x)\right)=\lg\left(\sqrt{x^2+1}-x\right).$$

Преобразуем выражение под логарифмом:

$$\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1,$$

откуда

$$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}.$$

Тогда

$$y(-x)=\lg\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)=-\lg\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

Ответ

Функция нечётная.