Упр.5.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=log_(1/2) (1/(x^2+8)); 2) y=log_(1/3) (1/(x^2-4x+7)).

1. $$y=\log_{\frac12}\frac{1}{x^2+8}=-\log_2\frac{1}{x^2+8}=\log_2(x^2+8).$$

   Так как $$x^2+8\ge 8,$$ то наименьшее значение выражения $$x^2+8$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$8$$.

   Тогда

   $$y_{\min}=\log_2 8=3.$$

2. $$y=\log_{\frac13}\frac{1}{x^2-4x+7}=-\log_3\frac{1}{x^2-4x+7}=\log_3(x^2-4x+7).$$

   Приведём квадратный трёхчлен к виду полного квадрата:

   $$x^2-4x+7=(x-2)^2+3.$$

   Следовательно,

   $$x^2-4x+7\ge 3,$$

   и наименьшее значение достигается при $$x=2$$.

   Тогда

   $$y_{\min}=\log_3 3=1.$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$1$$.