Упр.5.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=log_0,1 (x^2+100); 2) y=log_(1/5) (x^2-6x+14).

1. Рассмотрим функцию $$y=\log_{0,1}(x^2+100).$$

   Так как основание логарифма $$0,1<1,$$ то функция $$y=\log_{0,1} t$$ убывает по $$t.$$ Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении выражения $$x^2+100.$$

   Поскольку $$x^2\ge 0,$$ имеем

   $$x^2+100\ge 100,$$

   и минимум достигается при $$x=0.$$ Тогда

   $$y_{\max}=\log_{0,1}100=-2.$$

2. Рассмотрим функцию $$y=\log_{\frac15}(x^2-6x+14).$$

   Так как $$\frac15<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении выражения $$x^2-6x+14.$$

   Приведём квадратный трёхчлен к виду полного квадрата:

   $$x^2-6x+14=(x-3)^2+5.$$

   Так как $$ (x-3)^2\ge 0,$$ то

   $$x^2-6x+14\ge 5,$$

   и минимум достигается при $$x=3.$$ Тогда

   $$y_{\max}=\log_{\frac15}5=-1.$$

Ответ

1) $$-2$$; 2) $$-1$$.