Упр.5.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=|log_(1/2) x|; 3) y=|log_0,2 x|/log_0,2 x;
2) y=log_(1/2) |x|; 4) y=v(log_3 x)^2·log_x 3.

1. $$y=\left|\log_{\frac12}x\right|$$

   Так как $$\log_{\frac12}x=-\log_2 x,$$ то

   $$y=\left|\log_2 x\right|.$$

   Следовательно,

   $$
   y=
   \begin{cases}
   -\log_2 x, & 0<x<1,\\
   \log_2 x, & x\ge 1.
   \end{cases}
   $$

2. $$y=\log_{\frac12}|x|$$

   Так как $$\log_{\frac12}t=-\log_2 t,$$ то

   $$y=-\log_2|x|.$$

   Следовательно,

   $$
   y=
   \begin{cases}
   -\log_2 x, & x>0,\\
   -\log_2(-x), & x<0.
   \end{cases}
   $$

3. $$y=\dfrac{|\log_{0,2}x|}{\log_{0,2}x}$$

   При $$x>1$$ имеем $$\log_{0,2}x<0,$$ значит

   $$y=\dfrac{-\log_{0,2}x}{\log_{0,2}x}=-1.$$

   При $$0<x<1$$ имеем $$\log_{0,2}x>0,$$ значит

   $$y=\dfrac{\log_{0,2}x}{\log_{0,2}x}=1.$$

   При $$x=1$$ выражение не определено, так как $$\log_{0,2}1=0.$$

   $$
   y=
   \begin{cases}
   1, & 0<x<1,\\
   -1, & x>1.
   \end{cases}
   $$

4. $$y=\sqrt{(\log_3 x)^2\cdot \log_x 3}$$

   Используем формулу $$\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}.$$ Тогда

   $$
   y=\sqrt{(\log_3 x)^2\cdot \frac{1}{\log_3 x}}
   =\sqrt{\log_3 x}.
   $$

   Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а также $$x>0,\ x\ne 1.$$ Поэтому $$\log_3 x\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1,$$ и при этом $$x\ne 1$$ из-за логарифма по основанию $$x.$$ Значит, $$x>1.$$

   Для $$x>1$$ имеем $$\log_3 x>0,$$ поэтому

   $$
   y=\sqrt{\log_3 x}.
   $$

   Если же учитывать исходное преобразование через знак логарифма, то график задаётся двумя горизонтальными лучами:

   $$
   y=
   \begin{cases}
   1, & x>1,\\
   -1, & 0<x<1.
   \end{cases}
   $$

Ответ

1) $$y=\left|\log_2 x\right|=\begin{cases}-\log_2 x,&0<x<1,\\ \log_2 x,&x\ge 1;\end{cases}$$
2) $$y=-\log_2|x|=\begin{cases}-\log_2 x,&x>0,\\ -\log_2(-x),&x<0;\end{cases}$$
3) $$y=\begin{cases}1,&0<x<1,\\ -1,&x>1;\end{cases}$$
4) $$y=\begin{cases}1,&x>1,\\ -1,&0<x<1.\end{cases}$$