Упр.5.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) y=1/lg (x^2+1); 6) y=lg (10x-x^2)-1/lg (8-x);
2) y=lg (1+sin(x)); 7) y=x/lg (4-x^2);
3) y=v(lg (1+x^2)); 8) y=lg (9x-x^2)-1/lg (5-x);
4) y=v(lg sin(x)); 9) y=log_(2-x) (8+7x-x^2);
5) y=lg (x+8)-5/lg (-x-1); 10) y=v((x+5)(2-x)/lg (x^2+1)).
- $$y=\frac{1}{\lg(x^2+1)}$$
Требуется, чтобы знаменатель был определён и не равнялся нулю:
$$x^2+1>0,\qquad \lg(x^2+1)\ne 0.$$
Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ остаётся условие
$$x^2+1\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne 0.$$
Значит,
$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
- $$y=\lg(1+\sin x)$$
Аргумент логарифма должен быть положительным:
$$1+\sin x>0 \;\Rightarrow\; \sin x>-1.$$
Равенство $$\sin x=-1$$ достигается при
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{-\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$
- $$y=\sqrt{\lg(1+x^2)}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$\lg(1+x^2)\ge 0.$$
Тогда
$$1+x^2\ge 1 \;\Rightarrow\; x^2\ge 0,$$
что верно при всех $$x\in\mathbb R.$$ Значит,
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
- $$y=\sqrt{\lg(\sin x)}$$
Нужно, чтобы
$$\lg(\sin x)\ge 0,\qquad \sin x>0.$$
Из $$\lg(\sin x)\ge 0$$ получаем
$$\sin x\ge 1.$$
Так как $$\sin x\le 1,$$ то возможно только
$$\sin x=1.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Итак,
$$D(y)=\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$
- $$y=\lg(x+8)-\frac{5}{\lg(-x-1)}$$
Требуется:
$$x+8>0,\qquad \lg(-x-1)\ne 0,\qquad -x-1>0.$$
Из первого и третьего условий:
$$x>-8,\qquad x<-1.$$
Из условия $$\lg(-x-1)\ne 0$$:
$$-x-1\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne -2.$$
Итак,
$$D(y)=(-8;-2)\cup(-2;-1).$$
- $$y=\lg(10x-x^2)-\frac{1}{\lg(8-x)}$$
Нужно:
$$10x-x^2>0,\qquad \lg(8-x)\ne 0,\qquad 8-x>0.$$
Первое неравенство:
$$x(10-x)>0 \;\Rightarrow\; 0<x<10.$$
Из второго условия:
$$8-x\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne 7.$$
Из третьего условия:
$$x<8.$$
Пересечение условий:
$$D(y)=(0;7)\cup(7;8).$$
- $$y=\frac{x}{\lg(4-x^2)}$$
Требуется:
$$4-x^2>0,\qquad \lg(4-x^2)\ne 0.$$
Из первого условия:
$$-2<x<2.$$
Из второго:
$$4-x^2\ne 1 \;\Rightarrow\; x^2\ne 3 \;\Rightarrow\; x\ne \pm\sqrt3.$$
Следовательно,
$$D(y)=(-2;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;2).$$
- $$y=\lg(9x-x^2)-\frac{1}{\lg(5-x)}$$
Нужно:
$$9x-x^2>0,\qquad \lg(5-x)\ne 0,\qquad 5-x>0.$$
Первое неравенство:
$$x(9-x)>0 \;\Rightarrow\; 0<x<9.$$
Из второго условия:
$$5-x\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne 4.$$
Из третьего условия:
$$x<5.$$
Итак,
$$D(y)=(0;4)\cup(4;5).$$
- $$y=\log_{2-x}(8+7x-x^2)$$
Для логарифма должны выполняться условия:
$$8+7x-x^2>0,\qquad 2-x>0,\qquad 2-x\ne 1.$$
Из основания логарифма:
$$x<2,\qquad x\ne 1.$$
Из аргумента:
$$8+7x-x^2>0 \;\Rightarrow\; x^2-7x-8<0.$$
Найдём корни:
$$D=49+32=81,\qquad x_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}.$$
Отсюда
$$x_1=-1,\qquad x_2=8,$$
и значит
$$-1<x<8.$$
С учётом $$x<2$$ и $$x\ne 1$$ получаем
$$D(y)=(-1;1)\cup(1;2).$$
- $$y=\sqrt{\frac{(x+5)(2-x)}{\lg(x^2+1)}}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — определён и не равен нулю:
$$\frac{(x+5)(2-x)}{\lg(x^2+1)}\ge 0,\qquad \lg(x^2+1)\ne 0.$$
Так как $$x^2+1>1$$ при всех $$x\ne 0,$$ то
$$\lg(x^2+1)>0 \quad \text{при } x\ne 0.$$
Следовательно, нужно решить
$$(x+5)(2-x)\ge 0,\qquad x\ne 0.$$
Отсюда
$$-5\le x\le 2,\qquad x\ne 0.$$
Итак,
$$D(y)=[-5;0)\cup(0;2].$$
Ответ
1) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
2) $$\mathbb R\setminus\left\{-\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$;
3) $$(-\infty;+\infty)$$;
4) $$\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$;
5) $$(-8;-2)\cup(-2;-1)$$;
6) $$ (0;7)\cup(7;8) $$;
7) $$(-2;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;2)$$;
8) $$(0;4)\cup(4;5)$$;
9) $$(-1;1)\cup(1;2)$$;
10) $$[-5;0)\cup(0;2]$$.
