Упр.5.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=lg (1-sin x); 5) y=v((x+1)(3-x)/lg (x^2+1));
1) y=v(log_(1/3) (1+x^2)); 6) y=log_5 (x^2-4x+3)+1/log_5 (7-x);
3) y=v(lg cos(x)); 7) y=lg (6x-x^2)+1/lg (3-x);
4) y=1/log_6 (x-3)+v(6-x); 8) y=log_(x+3) (x^2+x).

1. $$y=\lg(1-\sin x)$$

   Для существования логарифма нужно:

   $$1-\sin x>0$$

   $$\sin x<1$$

   Это верно при всех $x$, кроме точек, где $\sin x=1$:

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=\sqrt{\log_{\frac13}(1+x^2)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\log_{\frac13}(1+x^2)\ge 0$$

   Так как основание $\frac13<1$, получаем:

   $$1+x^2\le 1$$

   $$x^2\le 0$$

   $$x=0.$$

3. $$y=\sqrt{\lg(\cos x)}$$

   Нужно, чтобы:

   $$\lg(\cos x)\ge 0$$

   Так как логарифм по основанию $10$ неотрицателен при аргументе не меньше $1$, то:

   $$\cos x\ge 1$$

   Это возможно только при

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$y=\frac{1}{\log_6(x-3)}+\sqrt{6-x}$$

   Для области определения нужно:

   $$\log_6(x-3)\ne 0,\qquad 6-x\ge 0$$

   Из первого условия:

   $$x-3\ne 1,\qquad x-3>0$$

   $$x\ne 4,\qquad x>3$$

   Из второго условия:

   $$x\le 6.$$

   Итак,

   $$D(x)=(3;4)\cup(4;6].$$

5. $$y=\sqrt{\frac{(x+1)(3-x)}{\lg(x^2+1)}}$$

   Нужно, чтобы дробь под корнем была неотрицательной, а знаменатель не равнялся нулю:

   $$\frac{(x+1)(3-x)}{\lg(x^2+1)}\ge 0,\qquad \lg(x^2+1)\ne 0$$

   Так как $x^2+1>1$ при $x\ne 0$, то

   $$\lg(x^2+1)>0,\qquad x\ne 0.$$

   Значит, достаточно решить:

   $$ (x+1)(3-x)\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

   Отсюда:

   $$-1\le x\le 3,\qquad x\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$D(x)=[-1;0)\cup(0;3].$$

6. $$y=\log_5(x^2-4x+3)+\frac{1}{\log_5(7-x)}$$

   Требуется:

   $$x^2-4x+3>0,\qquad \log_5(7-x)\ne 0$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x-3)>0 \Rightarrow x<1 \text{ или } x>3.$$

   Из условия для знаменателя:

   $$7-x\ne 1,\qquad 7-x>0$$

   $$x\ne 6,\qquad x<7.$$

   Итак,

   $$D(x)=(-\infty;1)\cup(3;6)\cup(6;7).$$

7. $$y=\lg(6x-x^2)+\frac{1}{\lg(3-x)}$$

   Нужно:

   $$6x-x^2>0,\qquad \lg(3-x)\ne 0$$

   Первое неравенство:

   $$x(6-x)>0 \Rightarrow 0<x<6.$$

   Второе условие:

   $$3-x\ne 1,\qquad 3-x>0$$

   $$x\ne 2,\qquad x<3.$$

   Совмещая условия, получаем:

   $$D(x)=(0;2)\cup(2;3).$$

8. $$y=\log_{x+3}(x^2+x)$$

   Для области определения нужно:

   $$x^2+x>0,\qquad x+3\ne 1,\qquad x+3>0$$

   Решим неравенство:

   $$x(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>0.$$

   Из условий на основание логарифма:

   $$x\ne -2,\qquad x>-3.$$

   Пересечение всех условий даёт:

   $$D(x)=(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1. $$D(x)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$
2. $$D(x)=\{0\}$$
3. $$D(x)=\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$
4. $$D(x)=(3;4)\cup(4;6]$$
5. $$D(x)=[-1;0)\cup(0;3]$$
6. $$D(x)=(-\infty;1)\cup(3;6)\cup(6;7)$$
7. $$D(x)=(0;2)\cup(2;3)$$
8. $$D(x)=(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup(0;+\infty)$$