Упр.5.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 5.31. Сравните log_2 3+log_3 2 и 2.

Так как $$2>1$$ и $$3>1$$, то $$\log_2 3>1$$.

Обозначим $$x=\log_2 3$$. Тогда $$\log_3 2=\dfrac{1}{\log_2 3}=\dfrac{1}{x}$$, и нужно сравнить

$$x+\frac{1}{x} \text{ и } 2.$$

Рассмотрим разность:

$$
x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}.
$$

Так как $$x=\log_2 3>1$$, то $$x>0$$, а значит $$\dfrac{(x-1)^2}{x}\ge 0$$. Причём здесь $$x\ne 1$$, поэтому

$$x+\frac{1}{x}-2>0.$$

Следовательно,

$$\log_2 3+\log_3 2>2.$$

Ответ

$$\log_2 3+\log_3 2>2$$