Упр.5.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (1/2)^x=log_2 x; 2) log_2 x=1/x.

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение $$\left(\frac12\right)^x=\log_2 x.$$

Область определения: $$x>0.$$

Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает при $$x>0$$, а функция $$y=\log_2 x$$ возрастает при $$x>0.$$ Значит, графики могут пересечься не более чем в одной точке.

Проверим значение $$x=1$$:

$$\left(\frac12\right)^1=\frac12,\qquad \log_2 1=0.$$

При $$x=2$$:

$$\left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad \log_2 2=1.$$

Следовательно, графики пересекаются один раз, значит уравнение имеет один корень.

2) Рассмотрим уравнение $$\log_2 x=\frac1x.$$

Область определения: $$x>0.$$

Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает, а функция $$y=\frac1x$$ убывает при $$x>0.$$ Поэтому графики также могут пересечься не более чем в одной точке.

Проверим $$x=2$$:

$$\log_2 2=1,\qquad \frac1{2}=\frac12.$$

При $$x=1$$:

$$\log_2 1=0,\qquad \frac11=1.$$