Упр.5.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=log_7 (6-x); 4) f(x)=log_0,4 (7x-x^2);
2) f(x)=log_12 |x|; 5) f(x)=lg (x+2)-2lg (x+5);
3) f(x)=lg (x^2-1); 6) f(x)=lg ((2x+1)/(x-1)).

1. $$f(x)=\log_7(6-x)$$

   Для логарифма подлогарифмическое выражение должно быть положительным:

   $$6-x>0$$

   $$x<6$$

   Ответ: $$D(x)=(-\infty;6)$$

2. $$f(x)=\log_{12}|x|$$

   Требуется:

   $$|x|>0$$

   Следовательно,

   $$x\ne 0$$

   Ответ: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

3. $$f(x)=\lg(x^2-1)$$

   Область определения задаётся неравенством:

   $$x^2-1>0$$

   $$ (x-1)(x+1)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1$$

   Ответ: $$D(x)=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

4. $$f(x)=\log_{0,4}(7x-x^2)$$

   Требуется:

   $$7x-x^2>0$$

   $$x(7-x)>0$$

   Следовательно,

   $$0<x<7$$

   Ответ: $$D(x)=(0;7)$$

5. $$f(x)=\lg(x+2)-2\lg(x+5)$$

   Для существования логарифмов нужно:

   $$x+2>0,\quad x+5>0$$

   Получаем:

   $$x>-2,\quad x>-5$$

   Обе неравенства выполняются при

   $$x>-2$$

   Ответ: $$D(x)=(-2;+\infty)$$

6. $$f(x)=\lg\frac{2x+1}{x-1}$$

   Нужно, чтобы дробь была положительной:

   $$\frac{2x+1}{x-1}>0$$

   Критические точки:

   $$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12,\qquad x-1=0 \Rightarrow x=1$$

   Исследуем знак дроби:

   $$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>1$$

   Ответ: $$D(x)=(-\infty;-\tfrac12)\cup(1;+\infty)$$