Упр.5.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=log_3 (x+1); 5) f(x)=log_5 (x^2+x+1);
2) f(x)=log_(1/2) (x^2+1); 6) f(x)=log_0,6 (5x-6-x^2);
3) f(x)=log_4 (-x); 7) f(x)=2lg x+3 lg(2-x);
4) f(x)=lg x^2; 8) f(x)=log_2 ((2x-3)/(x+7)).
$$f(x)=\log_3(x+1)$$
Для логарифма нужно, чтобы аргумент был положительным:
$$x+1>0,\quad x>-1.$$
Ответ: $$D(x)=(-1;+\infty).$$
$$f(x)=\log_{\frac12}(x^2+1)$$
Требуется:
$$x^2+1>0.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2+1>0$$ при любом $$x\in\mathbb R.$$
Ответ: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)=\log_4(-x)$$
Аргумент логарифма должен быть положительным:
$$-x>0,\quad x<0.$$
Ответ: $$D(x)=(-\infty;0).$$
$$f(x)=\lg x^2$$
Нужно, чтобы
$$x^2>0.$$
Это верно при всех $$x\ne 0.$$
Ответ: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$f(x)=\log_5(x^2+x+1)$$
Требуется:
$$x^2+x+1>0.$$
Рассмотрим квадратный трехчлен:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2+x+1>0$$ при любом $$x\in\mathbb R.$$
Ответ: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)=\log_{0,6}(5x-6-x^2)$$
Нужно решить неравенство:
$$5x-6-x^2>0.$$
Преобразуем:
$$x^2-5x+6<0$$
$$ (x-2)(x-3)<0.$$
Произведение отрицательно между корнями:
$$2<x<3.$$
Ответ: $$D(x)=(2;3).$$
$$f(x)=2\lg x+3\lg(2-x)$$
Для существования логарифмов нужно:
$$x>0,\quad 2-x>0.$$
Отсюда:
$$0<x<2.$$
Ответ: $$D(x)=(0;2).$$
$$f(x)=\log_2\frac{2x-3}{x+7}$$
Требуется:
$$\frac{2x-3}{x+7}>0,\quad x\ne -7.$$
Нули числителя и знаменателя:
$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,\qquad x+7=0 \Rightarrow x=-7.$$
Исследуем знак дроби:
$$\frac{2x-3}{x+7}>0 \quad \text{при} \quad x<-7 \ \text{или}\ x>\frac32.$$
Ответ: $$D(x)=(-\infty;-7)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$
