Упр.43.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 43.8. Чтобы сварить компот, мама поручила Малышу добавить в кипяток поллитровую банку варенья с вишнями. Однако Карлсон заявил, что он лучший в мире эксперт по компотам, и принялся варить компот сам. Когда из приготовленной Карлсоном двухлитровой кастрюли компота Малыш наполнил стакан объёмом 200 мл, то в нём оказались только 2 вишенки. Есть ли у Малыша весомые основания заподозрить Карлсона, что тот съел часть варенья, если в банке было 70 вишенок?

Рассмотрим число вишенок в стакане как случайную величину с биномиальным распределением.

Вероятность того, что одна вишенка попадёт в стакан объёмом $200$ мл из двухлитровой кастрюли, равна

$$p=\frac{0{,}2}{2}=0{,}1.$$

Тогда число вишенок в стакане можно считать распределённым по закону $$X\sim B(n=70,\;p=0{,}1).$$

Найдём математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение:

$$\mu=np=70\cdot 0{,}1=7,$$

$$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{70\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{6{,}3}\approx 2{,}51,$$

где $$q=1-p=0{,}9.$$

Теперь оценим вероятность того, что в стакане окажется не более двух вишенок:

$$P(X\le 2)\approx P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{2-7}{2{,}51}\right)=P(Z\le -1{,}99).$$

По таблице значений функции Лапласа:

$$P(Z\le -1{,}99)\approx 0{,}0233.$$

Это очень малая вероятность, значит, получить только 2 вишенки в стакане при 70 вишенках в банке крайне маловероятно.

Следовательно, у Малыша есть весомые основания заподозрить, что Карлсон съел часть варенья.

Ответ

Да.