Упр.43.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 43.5. Собственник птицефабрики, поставляющей яйца, утверждает, что его продукция содержит только 3 % битых яиц. Однако при проверке очередной партии из 2000 яиц оказалось, что в ней 4 % битых яиц. Стоит ли доверять заявлению собственника?

Подробный ответ

Пусть число битых яиц в партии — случайная величина $$X$$. Тогда при заявленной доле брака $$p=0{,}03$$ и объёме партии $$n=2000$$ имеем

$$\mu=np=2000\cdot 0{,}03=60,$$

$$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{2000\cdot 0{,}03\cdot 0{,}97}=\sqrt{58{,}2}\approx 7{,}63,$$

где $$q=1-p=0{,}97.$$

По условию в проверенной партии оказалось $$4\%$$ битых яиц, то есть

$$2000\cdot 0{,}04=80.$$

Найдём, насколько это событие вероятно при заявленной доле брака. Используем нормальное приближение:

$$P(X\ge 80)\approx P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\ge \frac{80-60}{7{,}63}\right)=P(z\ge 2{,}62).$$

По таблице значений функции Лапласа

$$P(z\ge 2{,}62)\approx 0{,}0044.$$

Это очень малая вероятность, значит, получить 80 битых яиц при истинной доле брака 3% практически маловероятно.