Упр.42.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 42.8. Вероятность того, что в течение часа в аптеку зайдёт ровно 5 покупателей, в 1,2 раза больше вероятности того, что зайдёт ровно 4 покупателя. Оцените вероятность того, что очередного покупателя придётся ждать больше 20 мин.

Подробный ответ

Случайная величина имеет распределение Пуассона, поэтому

$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.$$

По условию

$$P(X=5)=1{,}2\,P(X=4).$$

Тогда

$$\frac{\lambda^5}{5!}e^{-\lambda}=1{,}2\cdot \frac{\lambda^4}{4!}e^{-\lambda}.$$

Сократим на $$\lambda^4e^{-\lambda}$$:

$$\frac{\lambda}{5}=1{,}2,$$

откуда

$$\lambda=6.$$

Теперь найдём вероятность того, что очередного покупателя придётся ждать больше 20 минут. За 1 час в среднем приходит 6 покупателей, значит время ожидания следующего покупателя имеет показательное распределение с параметром $$\lambda=6$$.

Тогда

$$P(t>\tfrac13)=\int\limits_{\frac13}^{\infty}6e^{-6x}\,dx.$$

Вычислим:

$$P(t>\tfrac13)=\left[-e^{-6x}\right]_{\frac13}^{\infty}=e^{-2}.$$

$$e^{-2}\approx 0{,}1353.$$