Упр.42.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 42.7. Менеджеру по продажам телевизоров клиенты в среднем звонят каждые 4 мин в течение всего рабочего дня, а менеджеру по продажам стиральных машин — каждые 6 мин. Второй менеджер ушёл в отпуск, и его телефон поставили первому менеджеру, который теперь отвечает па все звонки. Найдите вероятность того, что менеджеру придётся ответить на звонок уже в первую минуту рабочего дня.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — время до первого звонка менеджеру по продажам телевизоров, а $$Y$$ — время до первого звонка менеджеру по продажам стиральных машин. Тогда

$$X \sim \text{Exp}\left(\frac{1}{4}\right), \qquad Y \sim \text{Exp}\left(\frac{1}{6}\right).$$

Нужно найти вероятность того, что в первую минуту рабочего дня менеджеру придётся ответить хотя бы на один звонок:

$$P(X<1 \text{ или } Y<1)=1-P(X>1,\;Y>1).$$

Так как звонки независимы, то

$$P(X>1,\;Y>1)=P(X>1)\cdot P(Y>1).$$

Для показательного распределения

$$P(X>t)=e^{-\lambda t}.$$

Значит,

$$P(X>1)=e^{-1/4}, \qquad P(Y>1)=e^{-1/6}.$$

Тогда

$$P=1-e^{-1/4}e^{-1/6}=1-e^{-5/12}.$$

Вычислим приближённо: